二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根,将f（x）的图像向右平移1个单位向下平移3/2个单位 得到g(x)的图像 试问是否存在实数mn,使函数g(x)在区间【n,n+2】

二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根,将f（x）的图像向右平移1个单位向下平移3/2个单位 得到g(x)的图像 试问是否存在实数mn,使函数g(x)在区间【n,n+2】
二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根,将f（x）的图像向右平移
1个单位向下平移3/2个单位 得到g(x)的图像 试问是否存在实数mn,使函数g(x)在区间【n,n+2】上是单调函数,且其值域为【m,m+2】?若存在 求mn值；若不存在 说明理由

二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根,将f（x）的图像向右平移1个单位向下平移3/2个单位 得到g(x)的图像 试问是否存在实数mn,使函数g(x)在区间【n,n+2】

设f(x)=ax^2+bx+c,a≠0,依题意f(0)=0+0+c=2所以c=2.又f(x)关于x=0对称则-b/2a=0则b=0此时f(x)=ax^2+2.将f(x)=2x和f(x)=ax^2+2联立有根满足方程ax^2-2x+2=0,只有一个根则Δ=b^2 -4ac=4-8a=0所以a=1/2 所以f(x)=1/2x^2+2

g(x)=1/2(x-3/2)^2+2=1/2x^2-3/2x+25/8

        若存在这样的实数mn且f(x)在[n,n+2]单调,则定义域为[n,n+2]和值域为[m,m+2]的含义是：g(x)上存在两个点,在这两个点的定义域[n,n+2]内有值域[m,m+2].若将过则两个点的直线关于对称轴x=3/2做对称,则形成的新的直线显然也符合条件,但单调性相反.
        固假设存在这样的实数mn,使得g(x)在区间[n,n+2]上单调增加,则两个交点分别为(n,m)和(n+2,m+2)且n,m＞3/2.则过这两点的直线斜率为2/2=1,所以可以设过这两点的直线方程为y=x+k.带入g(x)内有等式x^2-5x+(25/4-2k)=0,有两个解则Δ=b^2-4ac＞0则25-4*(25/4-2k)=8k＞0.由于我们假设是单增部分所以x1=n≥3/2,x2=x1+2=n+2≥7/2,根据韦达定理x1+x2=-b/a=5,而x1+x2=n+(n+2)≥3/2+7/2=5,所以n只能等于3/2.n+2=7/2,x1x2=25/4-2k =21/4,所以k=1/2,直线方程为y=x+1/2.将n=3/2带入直线方程有m=2.将点(3/2,2)和(7/2,4)带回到g(x)中发现这两个点在g(x)上.
        将(3/2,2)和(7/2,4)关于对称轴x=3/2做对称可以得到另一组答案(3/2,2)和(-1/2,4).所以存在这样的数n=3/2,m=2满足g(x)在区间[3/2,7/2]内单调递增且值域在[2,4]之内或n=-1/2,m=2满足g(x)在区间[-1/2,3/2]内单调递减且值域在[2,4]之内.

哥，我刚上初一，因智商原因，自学数学，所以才会做此题，
但由于暂时没经过系统训练（11月份差不多行了，12月就考赛了）
且粗心大意，答案不一定对，所以只供参考 ， 谢谢

∵此函数（ax²+bx+c）关于y=0对称
∴b=0
∵此函数（ax²+c）过点（0,2）

全部展开

哥，我刚上初一，因智商原因，自学数学，所以才会做此题，
但由于暂时没经过系统训练（11月份差不多行了，12月就考赛了）
且粗心大意，答案不一定对，所以只供参考 ， 谢谢

∵此函数（ax²+bx+c）关于y=0对称
∴b=0
∵此函数（ax²+c）过点（0,2）
∴c=2
又∵f（x）=2x只有一个根
∴ △=根号（b²-4ac）=0
∴a=2
所以解析式为 y = 2x²+2
将之向下移动1.5个单位： y = 2 x² + 1/2
向右2个 2（x-2）²+1/2= 2x² + 8x + 8.5
若存在， 则有有方程组：
g（n）=m →2n² + 8n + 8.5 =m ......(1)
g（n+2）=m+2 →2n²+16n+32.5=m+2 ......(2)
（2）-（1）得 8n +24 =2
解得 n=-2.25
而当n=-2.25时
n到n+2n是单调函数
所以m=305
mn=-3355/4
谢谢哥哥给我一次锻炼的机会

收起