已知sin(α+β)=a,sin(α-β)=b,求证tanα/tanβ=(a+b)/(a-b)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 04:11:35
已知sin(α+β)=a,sin(α-β)=b,求证tanα/tanβ=(a+b)/(a-b)
已知sin(α+β)=a,sin(α-β)=b,求证tanα/tanβ=(a+b)/(a-b)
已知sin(α+β)=a,sin(α-β)=b,求证tanα/tanβ=(a+b)/(a-b)
证明：
因为sin(α+β)=a,sin(α-β)=b
所以a+b=sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
a-b=2cosαsinβ
所以(a+b)/(a-b)=2sinαcosβ/2cosαsinβ=(sinα/cosα)/(sinβ/cosβ)=tanα/tanβ
证：
sin(α+β)=a sin(α-β)=b
sin(α+β)/sin(α-β)=a/b
(sinαcosβ+cosαsinβ)/(sinαcosβ-cosαsinβ)=a/b
等式左边分子分母同除以cosαcosβ
(tanα +tanβ)/(tanα-tanβ)=a/b
atanα-atanβ=btanα+btanβ
(a-b)tanα=(a+b)tanβ
tanα/tanβ=(a+b)/(a-b)，等式成立。
注：α用x，β用y代替，可得：
sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]
=(a+b)/2
cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]
=(a-b)/2
因：
tanx/tany
=(sinx/cosx)/(siny/cosy)
=(sinxcosy)/(cosxsiny)
=[(a+b)/2)]/[(a-b)/2]
=(a+b)/(a-b)
得证！
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=a
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=b
联立两式；
求得
sinαcosβ=（a+b）/2
cosαsinβ=（a-b）/2
tanα/tanβ=sinαcosβ/（cosαsinβ）=(a+b)/(a-b)