如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证：OD=OE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:52:54
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证：OD=OE
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证：OD=OE
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证：OD=OE
证明：
作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,OP⊥BC于P
∵BD平分∠ABC
∴OM=OP
∵CE平分∠ACB
∴ON=OP
∴OM=ON
∵∠A=60º
∴∠ABC+∠ACB=120º
∴∠OBC+OCB=½（∠ABC+∠ACB）=60º
∴∠EOD=∠BOC=120º
∵∠AMO+∠ANO=90º+90º=180º
∴∠A+∠MON=180º
∴∠MON=120º=∠EOD
∴∠MOE=∠NOD【在同一顶点的两个角相等,相当于一个角绕此点旋转,两边旋转角度相等】
又∵∠EMO=∠DNO=90º,OM=ON
∴⊿EMO≌⊿DNO（ASA）
∴OD=OE
作OP垂直于BC于P，OM垂直于AB于M，ON垂直于AC，则由角平分线性质知OP=OM=ON。然后证明三角形OME全等于三角形OND（AAS）得OC=OD
证明:∵∠A=60°,则∠ABC+∠ACB=120°;BD和CE均为角平分线.
∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°;∠BOC=120°.
在BC上截取BF=BE,连接OF.
∵BF=BE;BO=BO;∠FBO=∠EBO.
∴⊿OBF≌⊿OBE,OF=OE,∠BOF=∠BOE=60°.
∴∠COF=60°=∠COD;又CO=CO;∠FCO=∠DC...
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证明:∵∠A=60°,则∠ABC+∠ACB=120°;BD和CE均为角平分线.
∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°;∠BOC=120°.
在BC上截取BF=BE,连接OF.
∵BF=BE;BO=BO;∠FBO=∠EBO.
∴⊿OBF≌⊿OBE,OF=OE,∠BOF=∠BOE=60°.
∴∠COF=60°=∠COD;又CO=CO;∠FCO=∠DCO.
则⊿FCO≌⊿DCO(ASA),OF=OD.
∴OD=OE.
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