如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5,cos∠ECF= 25,求弦AC的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 16:25:43
如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5,cos∠ECF= 25,求弦AC的长．
如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．
如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5,cos∠ECF= 25,求弦AC的长．
如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5,cos∠ECF= 25,求弦AC的长．
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分析：（1）连接OC．欲证FC是⊙O的切线,只需证明FC⊥OC即可；
（2）连接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圆周角定理求得BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10× 2/5=4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的长度即可．
（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知）,
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等）,
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∴∠FCE+∠OCA=90°,即FC⊥OC,
∴FC是⊙O的切线；
连接BC．
∵AB是⊙O的直径,⊙O的半径为5,
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）,AB=2OA=10,
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB,
∴∠A+∠AED=90°,
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED,即∠ABC=∠AED；
由（1）知,∠AED=∠FEC=∠ECF,
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×2/5=4,
∴AC=√﹙AB²-BC²﹚=√﹙10²-4²﹚=2√21
本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形．要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点（即为半径）,再证垂直即可．
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（1）连接OC，∠ACO=∠CAO,∠AED=∠FEC=∠FCE.因为∠CAO+∠AED=90,所以∠ACO+∠ACF=90,所以CF为圆的切线
（2）cos∠ECF=sin∠EAD,cos∠EAD=1-sin∠EAD的平方。
AC=2AO乘cos∠EAD
cos∠ECF= 25写错了吧http://zhidao.baidu.com/question/53970...
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（1）连接OC，∠ACO=∠CAO,∠AED=∠FEC=∠FCE.因为∠CAO+∠AED=90,所以∠ACO+∠ACF=90,所以CF为圆的切线
（2）cos∠ECF=sin∠EAD,cos∠EAD=1-sin∠EAD的平方。
AC=2AO乘cos∠EAD
cos∠ECF= 25写错了吧
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