请问,在实数范围内,有没有实数m,n,使得m的n次方等于n的m次方?求m,n是多少?请看清楚问题啊!是m的n次方等于n的m次方,看清楚了回答,拿枝笔算算,不要为了积分而瞎回答! 最好有解题过程!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 02:11:20
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请问,在实数范围内,有没有实数m,n,使得m的n次方等于n的m次方?求m,n是多少?
请看清楚问题啊!是m的n次方等于n的m次方,看清楚了回答,拿枝笔算算,不要为了积分而瞎回答! 最好有解题过程!

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显然m=0或n=0时m^n=n^m不成立 另外m=n时等式也显然成立.在mn≠0,且m≠n时 m^n=n^m ==> m^(n/nm)=n^(m/mn) ==>m^(1/m)=n^(1/n) 考察f(x)=x^(1/x) (x∈R+) f(x)=e^(lnx/x) 不难验证f(1)=1 lim(x->∞)=e^0=1 f'(x)=(1-lnx)e^(lnx/x)/x^2 该函数在1到e单调递增,在e到+∞单调递减,故存在无穷多组解x1和x2使f(x1)=f(x2),此时x1^x2=x2^x1满足题意,其中x1=2,x2=4是唯一整数解