在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0)、B(0,4),以点A为旋转中心,△ABO顺时针旋转得△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β若旋转后,满足∠α=60°,求点C的坐标

在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0)、B(0,4),以点A为旋转中心,△ABO顺时针旋转得△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β若旋转后,满足∠α=60°,求点C的坐标
在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0)、B(0,4),以点A为旋转中心,△ABO顺时针旋转得△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β
若旋转后,满足∠α=60°,求点C的坐标

在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0)、B(0,4),以点A为旋转中心,△ABO顺时针旋转得△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β若旋转后,满足∠α=60°,求点C的坐标
C(3+(3√3+4)/10,(4√3-3)/10)
∠ABO=β,则∠BAO=90°-β
又有tanβ=AO/BO=3/4故sinβ=3/5 cosβ=4/5
AB=5 顺时针旋转以后,AC=AB=5
取x轴上A右边一点为E,则∠CAE=180°-（α+（90°-β））=β+30°
所以C（xc,yc）坐标为：
xc=xa+AC*cos∠CAE=3+5*cos（β+30°）
yc=ya+AC*sin∠CAE=0+5*sin （β+30°）
cos（β+30°）=cosβcos30°-sinβsin30°=4/5*√3/2-3/5*1/2=(3√3+4)/10
sin （β+30°）=sinβcos30°+cosβsin30°=3/5*√3/2+4/5*1/2=(4√3-3)/10、
所以
C(3+(3√3+4)/10,(4√3-3)/10)

（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO，
得 AM=ADAB•AO=35×3=95，
∴OM= 65，

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（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 ADAB=AMAO=DMBO，
得 AM=ADAB•AO=35×3=95，
∴OM= 65，
∴ MD=125，
∴点D的坐标为（ 65， 125）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD= DEOE= 34，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=3-4x，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（3-4x）2，
∴x= 2425，
∴D（ 9625， 7225），
∴直线AD的解析式为：y= 247x- 727，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=- 724x+b，
则b=4，
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4，
若顺时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 724x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 724x+4或y= 724x-4

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