已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上离心率e=1/2一个顶点的坐标为(0,根号3)（1）求椭圆C的方程（2） 椭圆C的左焦点为F右顶点为A直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且向量AM*向量AN=0,试问：是否存
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/09 16:16:24
已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上离心率e=1/2一个顶点的坐标为(0,根号3)（1）求椭圆C的方程（2） 椭圆C的左焦点为F右顶点为A直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且向量AM*向量AN=0,试问：是否存
已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上离心率e=1/2一个顶点的坐标为(0,根号3)
（1）求椭圆C的方程（2） 椭圆C的左焦点为F右顶点为A直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且向量AM*向量AN=0,试问：是否存在实数a,使得S△FMN=aS△AMN成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由
已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上离心率e=1/2一个顶点的坐标为(0,根号3)（1）求椭圆C的方程（2） 椭圆C的左焦点为F右顶点为A直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且向量AM*向量AN=0,试问：是否存
（1）因为焦点在 x 轴上、中心在原点,可设椭圆方程形式为 (x²/a²)+(y²/b²)=1；
题目所给顶点(0,√3)位于 y 轴上,因此短半轴 b=√3；
由离心率 e=c/a=1/2,得 a²=4c²,又 a²=c²+b²,所以 c²=b²/3=1,a²=4；
标准方程为 (x²/4)+(y²/3)=1；
（2）α 是肯定存在的；因为对合适的M、N点,△FMN、△AMN都确定存在,算出面积比即可；
题目可能是想要证明对任意符合条件的 M、N 点,两三角形面积比 α 都是恒定不变的；
由方程可知焦点坐标 F(-1,0)、右顶点A(2,0)；按题意,向量AM●AN=-0,则 AM⊥AN；
将直线 l 的方程代入椭圆C中求交点：(x²/4)+(kx+m)²/3=1 → (3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0；
上述方程的两根分别对应 M、N 点横坐标 Xm、Xn,所以有：
Xm+Xn=-8km/(3+4k²),Xm*Xn=(4m²-12)/(3+4k²)；
由直线 AM、AN 互相垂直可知 Ym/(Xm-2)=-(Xm-2)/Yn → Ym*Yn+(Xm-2)(Xn-2)=0；
即 (kXm+m)(kXn+m)+Xm*Xn-2(Xm+Xn)+4=0 → (k²+1)Xm*Xn+(km-2)(Xm+Xn)+m²+4=0；
代入坐标关系式：(k²+1)(4m²-12)-(km-2)*8km+(m²+4)(3+4k²)=0,化简得 4k²+7m²+16km=0；
上式说明直线 l 必须满足一定的要求,即 4(k/m)²+16(k/m)+7=0,解得 k/m=-1/2 或 k/m=-7/2；
△FMN、△AMN有共同的底边 MN,它们的面积比就等于高之比（即F、A与MN距离比）：
α=△FMN/S△AMN=[|-k+m|/√(k²+1)]/[|2k+m|/√(k²+1)]=|m-k|/|2k+m|=|1-(k/m)|/|2(k/m)+1|=3/4；
看样子直线 l 须位于 F、A 之间才能使两个三角形面积差别不大；（k/m=-1/2时 l 过 A 点）；
第一问a²=4.b²=3.只能帮到这里了