一个数被7除余2,被9除余4,能被5整除,这个数最小是几
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 00:25:20
一个数被7除余2,被9除余4,能被5整除,这个数最小是几
一个数被7除余2,被9除余4,能被5整除,这个数最小是几
一个数被7除余2,被9除余4,能被5整除,这个数最小是几
设此数为k
因为225同余于1（mod 7）,故450同余于2（mod 7）
因为280同余于1（mod 9）,故1120同余于4（mod 9）
k=450+1120+（5*7*9*n）=1570+315*n
n取-4时,k取最小正数310
能被5整除,故个位是5或0
被7除余2，被9除余4，其实都是比9和7的倍数少了5（上面说到5是的倍数，这里有比7和9的倍数少5，即这个7和9的倍数也是5的倍数）
所以这个数是7*9*5=315，再减去5=310
310
题：一个(自然)数被7除余2，被9除余4，能被5整除，这个数最小是几
转述：用数论符号表示
x==2 mod 7 ==4 mod 9 ==0 mod 5
解一：逐步修正法(类似牛顿插值法)
心算：x=-5+35a==4 mod 9,a=0 mod 9
于是x=-5+35*9b，
最小的自然数为
310=-5+35*9
注：
心...
全部展开
题：一个(自然)数被7除余2，被9除余4，能被5整除，这个数最小是几
转述：用数论符号表示
x==2 mod 7 ==4 mod 9 ==0 mod 5
解一：逐步修正法(类似牛顿插值法)
心算：x=-5+35a==4 mod 9,a=0 mod 9
于是x=-5+35*9b，
最小的自然数为
310=-5+35*9
注：
心算x=2-7+35a,使得x==2 mod 7==0 mod 5
或者令x=2+7k==0 mod 5,解得k=-1+5a.
注意下面的内容详细说明了用中国剩余定理求解的过程，理解了这个过程，碰到类似题目便能类推了，也就是掌握了中国剩余定理了。
题:x==2 mod 7 ==4 mod 9 ==0 mod 5
解二：中国剩余定理(类似拉格朗日插值法)的变式
x1==2 mod 7 =1*9*5a
x2==4 mod 9 =7*1*5b
x3==0 mod 5 =7*9*1c (零值项，可省略，因此这里可以省去)
易见x==x1+x2+x3 mod 7*9*5.
其中，a=3(mod 7),b=-4(mod 9),c=0(mod 5)
于是x==9*5*3+7*5*(-4) (mod 7*9*5) ==-5 mod 315
最小自然数解为-5+315==310
题:x==2 mod 7 ==4 mod 9 ==0 mod 5
解三：中国剩余定理
x1==1 mod 7 =1*9*5a
x2==1 mod 9 =7*1*5b
x3==1 mod 5 =7*9*1c (下面可以看到，此项与零值项关联，可省略)
于是x==2*x1+4*x2+0*x3 mod 7*9*5
易见
a=-2 mod7==5,可取x1=1*9*5*5;
b=-1 mod9,可取x2=-7*5
于是，x==2*9*5*5-4*7*5=62*5=310,最小自然数解为310.
题:x==2 mod 7 ==4 mod 9 ==0 mod 5
解四：中国剩余定理的简易表述
设x=1*9*5a+7*1*5b+7*9*1c + 7*9*5k
即x==2a*9*5+7*4b*5+7*9*0c mod 7*9*5
代入原条件得到：
2a*9*5==2 mod 7,7*4b*5==4 mod 9
以下参见解二。
收起