如何用导数法判断三次方程只有一个实根

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 23:49:55
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如何用导数法判断三次方程只有一个实根
如何用导数法判断三次方程只有一个实根

如何用导数法判断三次方程只有一个实根
导函数是二次函数
若y'=0只有一个解或无解,则三次方程所代表的曲线在R上单调,所以和x轴只有一个交点,此时只有一个解
若y'=0有两个不同的根
则根据y'的符号得出三次函数的单调性,进而可判断出两个极值那个是极大,哪个是极小
则当极大值小于0或极小值大于0时,方程只有一个解

我们以普遍的三次方程为例
0=x^3+ax^2+bx+c
导数法的做法是，令f(x)=x^3+ax^2+bx+c
求导,f'(x)=3x^2+2ax+b
如果这个导函数，在实数范围内大于或等于零，那说明原函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在实数范围内是一个增函数，它只与x轴有一个交点。方程也因此只有一个实根。
但是普遍情形下，三次函数与x轴的交点有1，...

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我们以普遍的三次方程为例
0=x^3+ax^2+bx+c
导数法的做法是，令f(x)=x^3+ax^2+bx+c
求导,f'(x)=3x^2+2ax+b
如果这个导函数，在实数范围内大于或等于零，那说明原函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在实数范围内是一个增函数，它只与x轴有一个交点。方程也因此只有一个实根。
但是普遍情形下，三次函数与x轴的交点有1，2，3不等，视具体系数而定。

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