如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 03:36:19
如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形.如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,C

如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形.
如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形.

如图在Rt三角形ABC中角ACB=90度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC交AC于E,交CD于H,EF垂直AB于F,连接FH,求证,四边形EFHC是菱形.

证明:

∵EF⊥AB

∴∠EFB=∠ECB=90°

∵BE平分∠ABC

∴∠FBE=∠CBE

又∵BE=BE

∴△EFB≌△ECB(AAS)

∴EF=EC,∠BEF=∠BEC

又∵EH=EH

∴△FEH≌△CEH(SAS)

∴CH=FH

∵EF⊥AB,CD⊥AB

∴EF//CD

∴∠BEF=∠EHC

∴∠BEC=∠EHC

∴CE=CH

∴CE=EF=FH=CH

∴四边形EFHC是菱形

EF//CD, ∠FEC与∠HCE互补,两者相加等于180度,
因BE平分角ABC交AC于E,∠ACB=∠EEB=90°,
易证ΔECB≌ΔEFB.
从而,CE=EF,BC=BF,
又∠EBC=∠EBF,BH=BH,从而证得,ΔBHC≌ΔBHF,
所以,CH=HF,
又EF//CH,
从而证得 EFHC 为菱形。