二次曲线：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 何时表示椭圆,双曲线,说明原因.我想知道C≠0的情况。二楼你复制的吧！

二次曲线：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 何时表示椭圆,双曲线,说明原因.我想知道C≠0的情况。二楼你复制的吧！
二次曲线：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 何时表示椭圆,双曲线,
说明原因.
我想知道C≠0的情况。二楼你复制的吧！

二次曲线：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 何时表示椭圆,双曲线,说明原因.我想知道C≠0的情况。二楼你复制的吧！
a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + f = 0;
根据定义设两点坐标
A = {x1, y1};
B = {x2, y2};
动点
P = {x, y};
①圆的方程
| a p | = r (r为常数);
于是
Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] = r;
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r^2;
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 - r^2 = 0;
-r^2 + x^2 - 2 x x1 + x1^2 + y^2 - 2 y y1 + y1^2 = 0;
对比a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + f = 0, 得
如果 a 和 b 都不是1, 就在方程左右同时除以 a 再做以下判断, a = b = 1, c = 0 时, 图形是圆, 对应着 {-d/2, -e/2} 为圆心坐标, Sqrt[(-d/2)^2 + (-e/2)^2 - f] 为圆的半径,
可见圆的方程x^2系数和y^2 系数均为1 (如果系数不是1, 方程左右两边同时除以x^2 系数后, x^2 系数和y^2 系数 就是1了), xy项系数为0,
②椭圆方程
| a p | +| b p | = r (r为常数);
于是
Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] + Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] = r;
当r > 0 时,
(Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] + Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 = r^2
2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 + 2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] - 2 y y2 + y2^2 = r^2;
2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] =
r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2);
当 r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) > 0 时,
(2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 = (r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2))^2;
(2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 - (r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2))^2 = 0;
4 ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) ((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = (-r^2 + 2 x^2 + x1^2 + x2^2 - 2 x (x1 + x2) + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2)^2;
(-r^2 + 2 x^2 + x1^2 + x2^2 - 2 x (x1 + x2) + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2)^2 - 4 ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) ((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = 0;
4 (-r^2 + (x1 - x2)^2) x^2 + 4 (-r^2 + (y1 - y2)^2) y^2 + 8 (x1 - x2) (y1 - y2) x y + 4 (r^2 (x1 + x2) - (x1 - x2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)) x + 4 (r^2 (y1 + y2) - (y1 - y2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)) y + (r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2)) = 0
③双曲线方程
|| ap | -| bp || = ±r (r为常数);
Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] - Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] = ±r;
(Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] - Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 = r^2;
2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] - 2 y y2 + y2^2 = r^2;
2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2] = (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) - r^2;
当 r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) < 0 时,
(2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 = ((2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) - r^2)^2;
(2 Sqrt[(x - x1)^2 + (y - y1)^2] Sqrt[(x - x2)^2 + (y - y2)^2])^2 - ((2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) - r^2)^2 = 0;
4 (-r^2 + (x1 - x2)^2) x^2 + 4 (-r^2 + (y1 - y2)^2) y^2 + 8 (x1 - x2) (y1 - y2) x y + 4 (r^2 (x1 + x2) - (x1 - x2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)) x + 4 (r^2 (y1 + y2) - (y1 - y2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)) y + (r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2)) = 0
可见双曲线和椭圆的方程形式是相同的,
区别在于 r^2 - (2 x^2 - 2 x x1 + x1^2 - 2 x x2 + x2^2 + 2 y^2 - 2 y y1 + y1^2 - 2 y y2 + y2^2) 的正负不同,
对比 a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + f = 0 可知,
a = 4 (-r^2 + (x1 - x2)^2);
b = 4 (-r^2 + (y1 - y2)^2);
c = 8 (x1 - x2) (y1 - y2);
d = 4 (r^2 (x1 + x2) - (x1 - x2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2));
e = 4 (r^2 (y1 + y2) - (y1 - y2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2));
f = r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2);
有6个方程5个未知数, 可见方程太多了, 如果f != 0 时, 方程两边同时除以f使得f = 1, 此时
a = (4 (-r^2 + (x1 - x2)^2))/( r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2));
b = (4 (-r^2 + (y1 - y2)^2))/( r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2));
c = (8 (x1 - x2) (y1 - y2))/( r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2));
d = (4 (r^2 (x1 + x2) - (x1 - x2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)))/( r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2));
e = (4 (r^2 (y1 + y2) - (y1 - y2) (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)))/( r^4 + (x1^2 - x2^2 + y1^2 - y2^2)^2 - 2 r^2 (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2));
f = 1;
上式中已知abcde, 可以解出 r, 两个焦点 {x1, y1}, {x2, y2}
区分椭圆和双曲线可以做出{x1, y1}, {x2, y2}的中垂线方程,看看和该曲线方程有没有交点,也就是方程组有没有解.
如果f = 0 时, 总有一个系数不为0, 此时两边同时除以该系数, 使得该系数为1, 即可唯一确定该方程, 做法与上面的类似;
好了,越想越没有头绪了.不想了.

这里如果xy项存在，将涉及到坐标轴的旋转，比较复杂
C=0
若a,b全为0，显然是直线方程；
若a,b有一个为0，如b=0，则显然是抛物线，只不过若b=0则开口向上或下，a=0时开口向左或右
若a,b均不为0
1、a=b时，两边除以a然后配方成为(x-p)^2+(y-q)^2=M
的形式；若M<0，此方程不代表图形；若M=0，此方程代表点(p...

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这里如果xy项存在，将涉及到坐标轴的旋转，比较复杂
C=0
若a,b全为0，显然是直线方程；
若a,b有一个为0，如b=0，则显然是抛物线，只不过若b=0则开口向上或下，a=0时开口向左或右
若a,b均不为0
1、a=b时，两边除以a然后配方成为(x-p)^2+(y-q)^2=M
的形式；若M<0，此方程不代表图形；若M=0，此方程代表点(p,q)；若M>0，设M=r^2，此方程代表以(p,q)为圆心，r为半径的圆
2、a,b同号但不相等时，配方整理成
(x-s)^2/u^2+(y-t)^2/v^2=1的形式
此时表示以(s,t)为中心的椭圆，其长轴长和短轴长分别为2u,2v（这里不妨设u>v）
3、a,b异号时，配方整理成
(x-s)^2/u^2-(y-t)^2/v^2=1的形式
此时表示以(s,t)为中心的双曲线（其形状大略是将反比例函数y=1/x的图像旋转45度得到的图像），它的实轴长为2u，虚轴长为2v
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把ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0进行变换，其变过过程请参考中级数学物理方程的书籍。变换后的方程或曲线由Δ（为原方程参数的函数）是否大于，等于，小于零而分为椭，抛、双三类曲线，相应的二阶微分方程也是如此定义分类的。
2.通过对圆锥的切割可以得到二次曲线，但是其解析表达式中有交叉项，即含有xy，这个项是旋转的结果，只要把解析式进行旋转变换就可得到我们常用的标准式
具体...

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把ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0进行变换，其变过过程请参考中级数学物理方程的书籍。变换后的方程或曲线由Δ（为原方程参数的函数）是否大于，等于，小于零而分为椭，抛、双三类曲线，相应的二阶微分方程也是如此定义分类的。
2.通过对圆锥的切割可以得到二次曲线，但是其解析表达式中有交叉项，即含有xy，这个项是旋转的结果，只要把解析式进行旋转变换就可得到我们常用的标准式
具体还可以参考
http://www.hudong.com/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF

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