已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 21:12:58
已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0,即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a.显然x=1/2
x的指数写清楚点。
f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x
=2a[x^2-(1/2+1/a)+1/(2a)]/x
=2a(x-1/a)(x-1/2)/x
当0<1/a≤1时，即a≥1时
∵1≤x≤e ∴x-1/a≥0,x-1/2>0
∴2a(x-1/a)(x-1/2)/x>0
全部展开
f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x
=2a[x^2-(1/2+1/a)+1/(2a)]/x
=2a(x-1/a)(x-1/2)/x
当0<1/a≤1时，即a≥1时
∵1≤x≤e ∴x-1/a≥0,x-1/2>0
∴2a(x-1/a)(x-1/2)/x>0
f(x)在[1,e]上为增函数
f(x)max=f(e)=ae²-(a+2)e+1
由ae²-(a+2)e+1=-2
得 a(e²-e)=2e-3
a=(2e-3)/(e²-e)
(2e-3)/(e²-e)-1=(3e-3-e²)/(e²-e)<0
∴a<1与a≥1矛盾
当1<1/a
∴f(x)的最大值在f(1)和f(e)中产生
f(1)=a-(a+2)+ln1=-2
f(e)=ae²-(a+2)e+1
则需f(e)≤f(1)=-2
∴ae²-(a+2)e+1≤-2
==>a≤(2e-3)/(e²-e)
∴1/e
当a≥e即0
∴f(x)max=f(1)=-2,符合题意
综上所述，符合条件的a的取值范围是
0
收起
f '(x)=2ax-(a+2)+1/x
令f ‘(x)=0
[2ax²-(a+2)x+1]/x=0
2ax²-(a+2)x+1=0 , 分解因式得：
(ax-1)(2x-1)=0
x1=1/a, x2=1/2小根是极大值点，大根是极小值点，
因为a>0,==>1/a>0
如果1/a<1/2,函数在[1，e]...
全部展开
f '(x)=2ax-(a+2)+1/x
令f ‘(x)=0
[2ax²-(a+2)x+1]/x=0
2ax²-(a+2)x+1=0 , 分解因式得：
(ax-1)(2x-1)=0
x1=1/a, x2=1/2小根是极大值点，大根是极小值点，
因为a>0,==>1/a>0
如果1/a<1/2,函数在[1，e]上单调增，而f(1)= -2,最大值不可能为 - 2
如果1/2≤1/a<1,与上面一样的矛盾！
如果1≤1/a
a≤(2e-3)/(e²-e)
又因为 1/e
综合可知：
0
收起