平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON,点C的轨迹与抛物线：y^2=4x交于A、B两点(1)求证：向量OA⊥向量OB;(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)使得过P点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 12:35:30
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON,点C的轨迹与抛物线：y^2=4x交于A、B两点(1)求证：向量OA⊥向量OB;(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)使得过P点
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON,点C的轨迹与抛物线：y^2=4x交于A、B两点
(1)求证：向量OA⊥向量OB;(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在,请说明理由
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON,点C的轨迹与抛物线：y^2=4x交于A、B两点(1)求证：向量OA⊥向量OB;(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)使得过P点
1.由题意可知：向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON
C点的方程为x-y-4=0
与y^2=4x的交点相交可得x1x2=16 y1y2=-16
所以向量OA⊥向量OB
2.设直线方程为y=k(x-m) ①
与抛物线方程联立得：
k^2x^2-(2mk^2+4)+m^2k^2=0 ②
由弦DE为直径的圆都过原点可知OE⊥OD
所以x1x2+y1y2=0 ③
由①②③得：
m=4 X=(x1+x2)/2=(4k^2+2)/k^2 Y=(y1+y2)/2=-1/k
圆心方程为X=4+2Y^2
（Ⅰ）由＝t＋(1－t) (t∈R)
知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y＝x－4．
由得x2－12x＋16＝0．
∴x1x2＝16, x1＋x2＝12
∴y1 y2＝(x1－4) (x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16
∴x1x2＋y1 y2＝0 故 ⊥.
（Ⅱ）由...
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（Ⅰ）由＝t＋(1－t) (t∈R)
知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y＝x－4．
由得x2－12x＋16＝0．
∴x1x2＝16, x1＋x2＝12
∴y1 y2＝(x1－4) (x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16
∴x1x2＋y1 y2＝0 故 ⊥.
（Ⅱ）由题意知：弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为：x＝ky＋m，
代入 y2＝4x 得 y2－4ky－4m＝0， ∴y1＋y2＝4k，y1y2 ＝－4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE ，∴．
即，解得（不合题意，舍去）或．
∴存在点P(4，0)，使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦AB的中点为M(x，y) 则x＝(x1＋x2) ， y＝( y1＋y2) ，
x1＋x2＝ky1＋4＋ky2＋4＝k(y1＋y2)＋8＝4k2＋8，
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
消去k得: y2＝2x－8．
∴圆心的轨迹方程为y2＝2x－8．
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