过抛物线y的平方=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,以OA,OB为邻边作矩形AOBM求点M的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 17:27:00
过抛物线y的平方=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,以OA,OB为邻边作矩形AOBM求点M的轨迹方程
过抛物线y的平方=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,以OA,OB为邻边作矩形AOBM
求点M的轨迹方程
过抛物线y的平方=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,以OA,OB为邻边作矩形AOBM求点M的轨迹方程
设OA：y=kx
与抛物线方程联立
k²x²=4x
∴ x=4/k²
即 A(4/k²,4/k)
OB的斜率是-1/k
∴ B(4k²,-4k)
设M(x,y)
则利用向量加法的几何意义
x=4/k²+4k²=4(k²+1/k²)
y=4/k-4k=4(1/k-k)
∴ y²=16(1/k²+k²-2)
∴ y²=4x-32
即 M的轨迹方程是y²=4x-32
过抛物线y²=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，以OA，OB为邻边作矩形AOBM，求点M的轨迹方程
设OA所在直线的方程为y=kx，代入抛物线方程得k²x²=4x；x(k²x-4)=0，故得x₁=4/k²，其与抛物线的交点A的坐标为(4/k²，4/k)；OB所在直线的方程为y=-(1/k)x，代入抛物线方程得x...
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过抛物线y²=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，以OA，OB为邻边作矩形AOBM，求点M的轨迹方程
设OA所在直线的方程为y=kx，代入抛物线方程得k²x²=4x；x(k²x-4)=0，故得x₁=4/k²，其与抛物线的交点A的坐标为(4/k²，4/k)；OB所在直线的方程为y=-(1/k)x，代入抛物线方程得x²/k²=4x；
x(x/k²-4)=0，故得x=4k²，其与抛物线的交点B的坐标为(4k²，-4k)；
设M点的坐标为(x，y)；那么：
向量OM=OA+OB；即有:
x=4/k²+4k²....................(1)
y=4/k-4k.......................(2)
这就是点M的轨迹的参数方程；下面消去参数k，即可求得轨迹的直角坐标方程。
将(2)式两边平方，得y²=(16/k²)-32+16k².........(3)
4×(1)-(3)得4x-y²=32，即y²=4x-32(x≧8)就是所要求的点M的轨迹方程。
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