设a,b为实数,方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2,且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组(a,b)共有多少个,各为?说明：x1,x2其中的1,2为下标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:45:42
设a,b为实数,方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2,且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组(a,b)共有多少个,各为?说明：x1,x2其中的1,2为下标
设a,b为实数,方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2,
且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组(a,b)共有多少个,各为?
说明：x1,x2其中的1,2为下标
设a,b为实数,方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2,且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组(a,b)共有多少个,各为?说明：x1,x2其中的1,2为下标
我算出来3对～～
第一组,(0,0)
当x1^3+x2^3=x1+x2时,有(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=x1+x2是三次因式分解公式,
所以,当x1+x2＝0时,两式成立,此时又有,
x1^2+x2^2=0,因为只有当x1=x2=0时才有平方的和为0,所以x1=x2=0,
所以原方程为x^2=0,a=b=0,所以有序数对为(0,0)
第二,三组为(-1,0),(-2,1)
继续因为有(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)=x1+x2,当
x1^2-x1x2+x2^2＝1时,两式成立,
所以有
x1^2+x2^2=1+x1x2,所以1+b=-a
又因为此时x1+x2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2,
即
-a=a^2-2b
就是a^2+3a+2=0
联立上面两个方程
解方程组有,a=-1,a=-2,b你自己解去吧～
～～～
x1+x2=-a
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=a^2-2b
x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1x2)=-a(a^2-2b-b)=-a(a^2-3b)
因为：x1^3+x2^3=x1+x2，所以：
-a=-a(a^2-3b),或 ，a=0
a^2-3b=1
b=a^2/3...................
全部展开
x1+x2=-a
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=a^2-2b
x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1x2)=-a(a^2-2b-b)=-a(a^2-3b)
因为：x1^3+x2^3=x1+x2，所以：
-a=-a(a^2-3b),或 ，a=0
a^2-3b=1
b=a^2/3................(1)
所以，x1^2+x2^2=a^2-2b=3b+1-2b=b+1
因为：x1^2+x2^2=x1+x2，所以：
b+1=-a.................(2)
解（1）（2）方程组得：无解
所以：a=0,b=0
即：有序的二元数组(a,b)共有1个，为（0，0）
收起
由韦达定理得
x1+x2=-a
x1x2=b
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=a^2-2b
x1^3+x2^3=(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=-a^3+3ab
因为x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2 所以
-a^3+3ab=a^2-2b=-a
解之的
a=0,b=0
a=-1,b=0
a=-2,b=1