设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 12:30:07
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
楼上的
答非所问啊,人家说有“实数根”,不是说“两个相等的实数根”
当a=0时,很明显斗有实数根,当a非零时我使用反证法：
假设：
方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根
即：
（2b）²-4ac＜0……①
（2c）²-4ab＜0……②
（2a）²-4cb＜0……③
同时成立
反正法证明：
由①+②+③得
（2b）²-4ac+（2c）²-4ab+（2a）²-4cb＜0……⑤
配方得：
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²＜0……⑥
很明显⑥不可能成立,那么“方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根”不成立,那么它的反面成立.即
a,b,c均为实数,时方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根.
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0不可能有两个相等的实数根
反证法 假设三个方程都有相等的实数根，
则4b^2-4ac=0, 4c^2-4ab=0, 4a^2-4bc=0
即b^2=ca, c^2=ab, a^2=bc
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab...
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设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0不可能有两个相等的实数根
反证法 假设三个方程都有相等的实数根，
则4b^2-4ac=0, 4c^2-4ab=0, 4a^2-4bc=0
即b^2=ca, c^2=ab, a^2=bc
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立于a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立，原命题成立
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