过抛物线y2=2px的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A,B两点,且△OAB的面积为2√2,则m^6+m^4=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 05:06:21
过抛物线y2=2px的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A,B两点,且△OAB的面积为2√2,则m^6+m^4=?
过抛物线y2=2px的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A,B两点,且△OAB的面积为2√2,则m^6+m^4=?
过抛物线y2=2px的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A,B两点,且△OAB的面积为2√2,则m^6+m^4=?
由题意,可知该抛物线的焦点为(p/2,0),它过直线,代入直线方程,可知：
p/2+m=0--->m=-p/2
∴直线方程变为：y=-2x/p+1
A,B两点是直线与抛物线的交点,∴它们的坐标都满足这两个方程.
∴ (-2x/p+1)^2=2px
---->4x^2/p^2-4x/p+1=2px
---->4x^2/p^2-(4/p+2p)x+1=0
∴△=(4/p+2p)^2-16/p^2=4p^2+16>0
∴方程的解x1=(4/p+2p-√(4p^2+16))/(8/p^2),
x2=(4/p+2p+√(4p^2+16))/(8/p^2);
代入直线方程,可知：y1=1-(4/p+2p-√(4p^2+16))/(4/p),
y2=1-(4/p+2p+√(4p^2+16))/(4/p),
△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和,而△OAP与△OBP若以OP为公共底,则其高即为A,B两点的y轴坐标的绝对值,由图像可知,A,B两点必在x轴两侧,所以它们的y轴坐标必有一个为正,一个为负,比较y1,y2可知y20
∴△OAP与△OBP的面积之和为：
S=1/2 * p/2 *(y1-y2)=p/4 * 2√(4p^2+16)/(4/p)
=p^2/8 *√(4p^2+16)
=2√2
---->p^2√(p^2+4)=8√2
---->p^2=4
∵m=-p/2---->m^2=p^2/4=1
∴m^6+m^4=1^3+1^2=1+1=2
将抛物线与直线这两条方程组成方程组，把m和p当做已知常数，则可以解出y，
y的解可以变成含有 y m p 的方程 y^2-2mpy+2mp=0 这条方程的解为y1 y2
因为此三角形面积为2.828（我打不出根号，所以化成小数），则将这个三角形切割成两个三角形，有一个共同的底边为原点到焦点这条线段=p/2
则此三角形的面积可以表示为 y1*p/4+y2*p/4=2...
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将抛物线与直线这两条方程组成方程组，把m和p当做已知常数，则可以解出y，
y的解可以变成含有 y m p 的方程 y^2-2mpy+2mp=0 这条方程的解为y1 y2
因为此三角形面积为2.828（我打不出根号，所以化成小数），则将这个三角形切割成两个三角形，有一个共同的底边为原点到焦点这条线段=p/2
则此三角形的面积可以表示为 y1*p/4+y2*p/4=2.828 (y1 y2 取绝对值) 此三角形面积方程则可以变成 p(y1+y2)/4=2.828 再联系方程y^2-2mpy+2mp=0······················剩下自己搞···
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