1.设1,2,3,…,9的任一排列为a1,a2,a3,…,a9求证：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数2.设a,b是自然数,且满足关系式（11111+a）×（11111-b）=123456789.求证：a- b是4的倍数3.已知a,b,c三个数中有两个奇
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 03:40:08
1.设1,2,3,…,9的任一排列为a1,a2,a3,…,a9求证：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数2.设a,b是自然数,且满足关系式（11111+a）×（11111-b）=123456789.求证：a- b是4的倍数3.已知a,b,c三个数中有两个奇
1.设1,2,3,…,9的任一排列为a1,a2,a3,…,a9
求证：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数
2.设a,b是自然数,且满足关系式（11111+a）×（11111-b）=123456789.求证：a- b是4的倍数
3.已知a,b,c三个数中有两个奇数,一个偶数,n是整数,S=（a+n+1）×（b+2n+2）×（c+3n+3）,那么（ ）
A.S是偶数 B.S是奇数 C.S的奇偶性与n的奇偶性相同 D.S的奇偶性不能确定
1.设1,2,3,…,9的任一排列为a1,a2,a3,…,a9求证：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数2.设a,b是自然数,且满足关系式（11111+a）×（11111-b）=123456789.求证：a- b是4的倍数3.已知a,b,c三个数中有两个奇
1、反证法：
由已知可得5个奇数,4个偶数,设：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个奇数,则a1-1、a2-2、…、a9-9均为奇数.那么由简单的数论可知：奇数-奇数=偶数、奇数-偶数=奇数、偶数-奇数=奇数、偶数-偶数=偶数.
因为a1-1、a3-3、a5-5、a7-7、a9-9均为奇数,故a1、a3、a5、a7、a9为偶数,然而已知中仅有4个偶数,故假设不成立,那么：（a1-1）×（a2-2）…（a9-9）是一个偶数
2、（11111+a）×（11111-b）=123456789化简可得：(a-b)*11111-ab=2468
(注：11111*11111是一个特殊乘法,这类乘法很快得到答案的：123454321)
因为a,b为自然数,故有a>b,(a-b)*11111-ab=2468,由奇偶性可知a-b为偶数(若a-b为奇数,a,b必然一奇一偶,那么(a-b)*11111为奇数,ab为偶数,(a-b)*11111-ab为奇数,矛盾),a,b奇偶性相同.
设a-b=2k,a=b+2k,代入(a-b)*11111-ab=2468,化简：2k*(11111-b)-b*b=2468
可知b必然为偶数,11111-b为奇数,等号右边是4的倍数,b*b也是4的倍数,则2k*(11111-b)为4的倍数,故k为偶数.
a-b=2k,所以a-b必为4的倍数.
3、由选项就知道是判断S的奇偶性.
假设n为奇数,那么n+1=2k
S=(a+2k)(b+4k)(c+6k),a,b,c两奇一偶,故S为偶数.
假设n为偶数,
S=(a+2k+1)(b+4k+2)(c+6k+3)
要想S为奇数,那么a为偶数,b为奇数,c为偶数,与题设矛盾,那么S必为偶数.
综上,S为偶数.