在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时,两球体积之和最小为什么一定要三个面相切?两面不行吗?到底什么是内切的含义,尽
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 15:51:22
在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时,两球体积之和最小为什么一定要三个面相切?两面不行吗?到底什么是内切的含义,尽
在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切
（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时,两球体积之和最小
为什么一定要三个面相切?两面不行吗?到底什么是内切的含义,尽可能多的与立体图形相切?
在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时,两球体积之和最小为什么一定要三个面相切?两面不行吗?到底什么是内切的含义,尽
(1)
(根号3)r1+r1+r2+(根号3)r2=根号3
r1+r2=(根号3)/[(根号3)+1]=(3-(根号3))/2
(2)
设r1+r2=k
V=(4/3)pi*r1^3+(4/3)pi*r2^3=(4/3)pi*(r1^3+r2^3)
=(4/3)pi*(r1+r2)(r1^2-r1r2+r2^2)
=(4/3)pi*(r1+r2)[(r1+r2)^2-3r1*r2]
=(4/3)pi*k(k^2-3r1*r2)
而k=r1+r2>=2*(r1*r2)^(1/2)
k^2>=4r1*r2
r1*r2=(4/3)pi*k(k^2-3*(1/4)k^2)
=(1/3)pi*k^3
当r1=r2=k/2=(3-(根号3))/4,V最小
为什么一定要三个面相切?
不三个面相切,hold住吗?如果两面相切,那么那个圆就还能“长大”.
(1)球与三面相切，球心与三面相交的顶点距离为（√3）R
正方体对顶点距离为√3，等于（√3）R+R+（√3）r+r=(√3+1)(R+r)
R+r=√3/(√3+1)=(3-√3)/2
(2)体积和＝4π(R^3+r^3)/3
=4π(R^3+[(3-√3)/2-R]^3)/3
=[R+(3-√3)/2-R]{R^2-R[(3-√3)/2-R]+[(3-√...
全部展开
(1)球与三面相切，球心与三面相交的顶点距离为（√3）R
正方体对顶点距离为√3，等于（√3）R+R+（√3）r+r=(√3+1)(R+r)
R+r=√3/(√3+1)=(3-√3)/2
(2)体积和＝4π(R^3+r^3)/3
=4π(R^3+[(3-√3)/2-R]^3)/3
=[R+(3-√3)/2-R]{R^2-R[(3-√3)/2-R]+[(3-√3)/2-R]^2}4π/3
={R^2-R[(3-√3)/2-R]+[(3-√3)/2-R]^2}[(3-√3)/2]4π/3
对R求导令为0，有
2R-(3-√3)/2＋2R+2[(3-√3)/2-R](-1)=0
6R=3(3-√3)/2
R=(3-√3)/4
r=(3-√3)/4
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