用一句话概括数学经典故事-----罗素悖论的故事 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌："村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。"于是有人问他："您的头发
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 23:02:09
用一句话概括数学经典故事-----罗素悖论的故事 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌："村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。"于是有人问他："您的头发
用一句话概括数学经典故事-----罗素悖论的故事
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌："村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。"于是有人问他："您的头发由谁理呢?"理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论，称为"罗素悖论"。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
用一句话概括数学经典故事-----罗素悖论的故事 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌："村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。"于是有人问他："您的头发
罗素悖论又称“理发师悖论”
罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于x”,现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A=\{x|x不属于x\}”.那么问题是：A属于A是否成立?首先,若A属于A,则A是A的元素,那么A具有性质P,由性质P知A不属于A；其次,若A不属于 A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A属于A.
罗素悖论提出后,数学家们纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”解决这一悖论在本质上存在两种选择,the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative.
1908年,策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷.这一公理系统在通过 Abraham Fraenkel的该进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms.在该公理系统中,由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一个性质,对任意已知集合A,存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合,由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理,存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的,因此罗素悖论在该系统中被避免了.
除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如冯·诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等.在the von Neumann-Bernays alternative中,所有包含集合的collection都能被称为类(class),因此某些集合也能被称为class,但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合,因此仅仅是个class.这同样也避免了罗素悖论.