能求的话写下步骤..已知x^2-xy+y^2=1求x+y的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 21:06:33
能求的话写下步骤..已知x^2-xy+y^2=1求x+y的最大值
能求的话写下步骤..已知x^2-xy+y^2=1求x+y的最大值
能求的话写下步骤..已知x^2-xy+y^2=1求x+y的最大值
因为：x^2-xy+y^2=1
所以：(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2-xy+y^2)+3xy=1+3xy
因为：2xy<=x^2+y^2
所以：4xy<=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2
所以：3xy<=3/4*(x+y)^2
所以：（x+y)^2<=1+3/4*(x+y)^2
解得：（x+y)^2<=4
即：-2<=x+y<=2
所以：x+y的最大值为2.
设x+y=m，则y=m-x，
代入x^2-xy+y^2=1中得
x²-x(m-x)+(m-x)²=1
整理得3x²-3mx+m²-1=0
∴△≥0
即9m²-12(m²-1)≥0
∴m²≤4
∴-2≤m≤2
即x+y的最大值是2
令x+y=a,则y=a-x,代入前式中得到，
x^2-x(a-x)+(a-x)^2-1=0,
整理得到3x^2-3ax+a^2-1=0,
因为方程一定要有解
（以上一点很重要,有解x、y点才存在，如果不考虑xy是否存在的话，那么a可以取任何值，这题就没意义了），
所以b^2-4ac>0（好像是叫维达定理）
就是(3a)^2-4*3*(a^2-1)>0...
全部展开
令x+y=a,则y=a-x,代入前式中得到，
x^2-x(a-x)+(a-x)^2-1=0,
整理得到3x^2-3ax+a^2-1=0,
因为方程一定要有解
（以上一点很重要,有解x、y点才存在，如果不考虑xy是否存在的话，那么a可以取任何值，这题就没意义了），
所以b^2-4ac>0（好像是叫维达定理）
就是(3a)^2-4*3*(a^2-1)>0,
整理得到3a^2<=12,
所以a最大是2 最小是-2。
收起
柯西