已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动,到达点C、B后停止.连结PQ、点D是PQ中点,连结CD并延长交AB于点E.（1）试说明：△ POQ是等腰直角

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动,到达点C、B后停止.连结PQ、点D是PQ中点,连结CD并延长交AB于点E.（1）试说明：△ POQ是等腰直角
已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动,到达点C、B后停止.连结PQ、点D是PQ中点,连结CD并延长交AB于点E.（1）试说明：△ POQ是等腰直角三角形；（2）设点P、Q运动的时间为t秒,试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S,并求出S的最大值；（3）如图2,点P在运动过程中,连结EP、EQ,问四边形PEQC是什么四边形,并说明理由；（4）求点D运动的路径长（直接写出结果）.

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点,点P、Q分别从点A、C出发,沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动,到达点C、B后停止.连结PQ、点D是PQ中点,连结CD并延长交AB于点E.（1）试说明：△ POQ是等腰直角
(1)、证明：连接CO,则：CO⊥AB ∠BCO=∠A=45° CO=AO=1/2AB
在△AOP和△COQ中
AP=CQ
∠A=∠BCO
AO=CO
∴△AOP≌△COQ (SAS)
∴OP=OQ
∠AOP=∠COQ
∴∠POQ=∠COQ+∠COP
=∠AOP+∠COP
=∠AOC
=90°
∴△ POQ是等腰直角三角形
(2)、S=1/2CQ×CP
=1/2×t(4-t)
=1/2t²+2t
=-1/2(t-2)²+2
当t=2时,S取得最大值,最大值S=2
(3)、四边形PEQC是矩形
证明：连接OD
∵点D是PQ中点
∴CD=PD=DQ=1/2PQ
OD=PD=DQ=1/2PQ
∴CD=OD
∠DCO=∠DOC
∠CEO+∠DCO=90°
∠DOE+∠DOC=90°
∴∠CEO=∠DOE
∴DE=DO
∴DE=CD
∵PD=DQ
∴四边形PEQC是平行四边形
又∠ACB=90°
∴四边形PEQC是矩形
(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上,其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段
点D运动的路径长=1/2AB=2√2

（1）证明：连接CO，由题目条件可知AP=CQ，CP=QB
因为Rt△ABC，O是AB的中点
所以AO=CO，∠COA=90°， ∠ACO=∠CAO=45°，AO=OC
在 △APO与△CQO中
AP=CQ,AO=CO, ∠ACO=∠CAO...

全部展开

（1）证明：连接CO，由题目条件可知AP=CQ，CP=QB
因为Rt△ABC，O是AB的中点
所以AO=CO，∠COA=90°， ∠ACO=∠CAO=45°，AO=OC
在 △APO与△CQO中
AP=CQ,AO=CO, ∠ACO=∠CAO
两三角形全等（SAS）
所以PO=OQ ，∠AOP=∠COQ
因为∠AOP+∠POC=90°
所以∠COQ+∠POC=90°
所以 ∠POQ=90°
所以△ POQ是等腰直角三角形
符号打的真累，稍等我接着回答！
（2）S△CPQ=CP*CQ
=(AC-AP)*CQ
=(4-t)*t
=-t^2+4t
=-（t-2）^2+4
当t=2时 S△CPQ最大等于4
（3）四边形CPEQ是矩形
（4）D的运动路径长二倍的根号二
打符号打的纠结了，哎！！！
后两问具体证明过程写的太累了，楼主如果需要的话，再追加！
再次补充，好人做到底了！
（3）连接OD
在Rt△CPQ中，D为PQ的中点
则PD=DQ=CD 所以∠ECB=∠PQC
∠CEA=∠ECB+∠EBC=∠ECB+45°(三角形一内角的外角=另外两内角的和)
∠DOB=∠DOQ+∠QOB=∠QOB+45°（△ POQ是等腰直角三角形所以∠DOQ=45°）
∠QOC=∠QOB+∠OBQ=∠QOB +45°
又因为∠ECB=∠PQC
所以∠DOB=∠CEA
所以OD=OE
又因为△COE为Rt△
在Rt△OEC内
∠OCE+∠CEO=∠COD+∠DOE=90°
所以∠OCE=∠COD
所以CD=OD
所以CD=DE
又因为PD=DQ
所以四边形PEQC为平行四边形
又因为∠ACB=90°
所以四边形PEQC为矩形
（4）当P与A点重合时D点为AC的中点
当P与C重合时D为CB的中点
又因为D为CE的中点
所以可以看出D的轨迹为Rt△ABC斜边AB的中位线
所以D的长度为1/2AB=二倍的根号二

收起

该题目是一条经典问题，利用全等三角形的旋转变换证全等