高一数学两角和与差的正弦,证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 05:42:04
高一数学两角和与差的正弦,证明题
高一数学两角和与差的正弦,证明题
高一数学两角和与差的正弦,证明题
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明
如图
我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在标准圆中.AB为直径.长度为1 由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.
令角A为角BAC
角B为角DAC
则角(A-B)为角BAD
证明如下:
cos(A-B)=AD/AB=AD ①cosA=AC/AB=AC ②sinA=BC/AB=BC ③cosB=AE/AC ④sinB=CE/AC
联立①③可知 cosB=AE/cosA 即cosAcosB=AE.
所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB
又AD=AE+ED 即只要证明sinAsinB=ED即可
即要证明BC*CE/AC=ED
即要证明CE/AC=ED/BC
注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)
所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF
注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF
即可以证明CE/AC=EF/CF
即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB
由sinθ=cos(-θ)
得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β]
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
又∵cos(-α)=sinα
sin(-α)=cosα
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ赞同10| 评论
在单位圆中取两点A(cosa,sina)，B(cosb,sinb)，原点O，则向量OA*OB=cosa*cosb+sina*sinb
由于OA*OB=|OA|*|OB|*cos∠AOB=1*1*cos(a-b)，可得cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
则sin(a-b)=cos(a-b-π/2)=cosa*cos(b+π/2)+sina*sin(b+π/2)=...
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在单位圆中取两点A(cosa,sina)，B(cosb,sinb)，原点O，则向量OA*OB=cosa*cosb+sina*sinb
由于OA*OB=|OA|*|OB|*cos∠AOB=1*1*cos(a-b)，可得cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
则sin(a-b)=cos(a-b-π/2)=cosa*cos(b+π/2)+sina*sin(b+π/2)=cosa*(-sinb)+sina*cosb
即sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb，代入-b即得sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb
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