直角三角形ABC,角A是直角,点D是斜边BC中点,点E,F分别是AB,AC上的点,且DE垂直DF,求证:EF*EF=BE*BE+CF*CF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 06:06:23
直角三角形ABC,角A是直角,点D是斜边BC中点,点E,F分别是AB,AC上的点,且DE垂直DF,求证:EF*EF=BE*BE+CF*CF
直角三角形ABC,角A是直角,点D是斜边BC中点,点E,F分别是AB,AC上的点,且DE垂直DF,求证:EF*EF=BE*BE+CF*CF
直角三角形ABC,角A是直角,点D是斜边BC中点,点E,F分别是AB,AC上的点,且DE垂直DF,求证:EF*EF=BE*BE+CF*CF
用正弦定理简单的证明一下.
在ΔCFD中
CF/sin∠CDF=DF/sin∠C=CD/sin∠CFD
在ΔDEB中
DE/sin∠B=BE/sin∠BDE=BD/sin∠DEB
可证∠CFD+∠DEB=180⁰
sin∠CFD=sin∠DEB ,CD=BD
可设CF/sin∠CDF=DF/sin∠C=DE/sin∠B=BE/sin∠BDE=d
CF=d*sin∠CDF,BE=d*sin∠BDE
∠CDF+∠BDE=90
BE^2+CF^2=(d*sin∠BDE)^2+(d*sin∠CDF)^2=d^2
DF=d*sin∠C,DE=d*sin∠B,
∠C+∠B=90
DF^2+DE^2=(d*sin∠C)^2+(d*sin∠B)^2=d^2
在RtΔFDE
EF^2=DF^2+DE^2=d^2=BE^2+CF^2
确实，如果不是等腰直角三角形，还真不知道怎么证明。
这个题应该是等腰直角三角形ABC
证明如下：
连结EF，
在直角三角形AEF中，
AE²+AF²=EF²
在等腰直角三角形中，
D是中点，
所以AD也是三角形ABC的垂线，即角ADC为直角
角DAB＝45度，角ACB=45度，即角DAB=角ACB
又因DE垂直DF，即角EDF为直角 ...
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这个题应该是等腰直角三角形ABC
证明如下：
连结EF，
在直角三角形AEF中，
AE²+AF²=EF²
在等腰直角三角形中，
D是中点，
所以AD也是三角形ABC的垂线，即角ADC为直角
角DAB＝45度，角ACB=45度，即角DAB=角ACB
又因DE垂直DF，即角EDF为直角
所以角ADE=角FDC
所以 三角形DAE全等于三角形DCF
所以 AE=CF
同理 AF=BE
所以 BE²+FC²=EF²
收起