求x^2/根号下（4-x^2)dx 的积分. 求lnxdx 的积分. 求(1+lnx)/(xlnx)^2dx的积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:34:24
求x^2/根号下（4-x^2)dx 的积分. 求lnxdx 的积分. 求(1+lnx)/(xlnx)^2dx的积分
求x^2/根号下（4-x^2)dx 的积分. 求lnxdx 的积分. 求(1+lnx)/(xlnx)^2dx的积分
求x^2/根号下（4-x^2)dx 的积分. 求lnxdx 的积分. 求(1+lnx)/(xlnx)^2dx的积分
楼上第二题做得太麻烦了,第三题不对.
1、∫ x²/√(4-x²) dx
令x=2sinu,则√(4-x²)=2cosu,dx=2cosudu
=∫ (4sin²u/2cosu)(2cosu) du
=4∫ sin²u du
=2∫ (1-cos2u) du
=2u - sin2u + C
=2u - 2sinucosu + C
=2arcsin(x/2) - (1/2)x√(4-x²) + C
2、∫ lnx dx
分部积分
=xlnx - ∫ x d(lnx)
=xlnx - ∫ 1 dx
=xlnx - x +C
3、由(xlnx)'=lnx+1,则
∫ (1+lnx)/(xlnx)² dx
=∫ (xlnx)'/(xlnx)² dx
=∫ 1/(xlnx)² d(xlnx)
=-1/(xlnx) + C
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
1、令x=2cost，
则 根号下（4-x^2)=2sint，
dx=d（2cost）=-2sintdt；
则 ∫x^2/根号下（4-x^2)dx
=-4∫cos²tdt
=-4∫0.5（1+cos2t）dt
=-2t-sin2t+C
=-2t-2sintcost+C
由 x=2cost
全部展开
1、令x=2cost，
则 根号下（4-x^2)=2sint，
dx=d（2cost）=-2sintdt；
则 ∫x^2/根号下（4-x^2)dx
=-4∫cos²tdt
=-4∫0.5（1+cos2t）dt
=-2t-sin2t+C
=-2t-2sintcost+C
由 x=2cost
得t=arccos（x/2）；
sint=根号下（1-cos²t）=（根号下（4-x²））/2
故 ∫x^2/根号下（4-x^2)dx
=-2arccos（x/2）-（x根号下（4-x²））/2+C
2、令x=e的t次方，
则 lnx=t，
dx=d（e的t次方）
则 ∫lnxdx =∫td（e的t次方）
=t乘e的t次方-∫e的t次方dt
=t乘e的t次方-e的t次方+C
由 x=e的t次方
得 t=lnx，
故 ∫lnxdx =xlnx-x+C
3、令x=e的t次方，
则 lnx=t，
dx=d（e的t次方）
=e的t次方dt
故 ∫(1+lnx)/(xlnx)^2dx
=∫（1+t）/tdt
=∫（1/t+1）dt
=ln│t│+t+C
=ln│lnx│+lnx+C
收起