x2+y2/2=1,求x-√1+y2最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 04:40:07
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x2+y2/2=1,求x√1+y2最大值
x²+y²/2=1
2x²+y²=2
2x²+y²+1=3
即2x²与(1+y²)的和为定值
[x*√(1+y²)]²
=x²*(1+y²)
=(1/2)*2x²*(1+y²)
≤(1/2)*[2x²+(1+y²)]²/4
=(1/8)*9
=9/8
∴x*√(1+y²)≤√(9/8)=(3√2)/4
---------------------------------
基本不等式：ab≤(a+b)²/4,当a=b时取等号
方法2.
(1)因为x2+y2/2=1,所以y2=2-2x2.（x2≤1,即-1≤x≤1）
当-1≤x≤0时
x√(1+y2)=-√[x2(1+y2)]
=-√[x2(1+2-2x2)]
=-√(-2x4+3x2)
=-√(-2x4+3x2-9/8+9/8)
=-√[-2(x2-3/4)2+9/8]
≥-√(9/8) （当x2=3/4（3/4≤1,符合条件）时,取到等号.）
=-3√2/4
当x=0时x√(1+y2)=0 当x=1时x√(1+y2)=-1
当0≤x≤1时
x√(1+y2)=√[x2(1+y2)]
=√[x2(1+2-2x2)]
=√(-2x4+3x2)
=√(-2x4+3x2-9/8+9/8)
=√[-2(x2-3/4)2+9/8]
≤√(9/8) （当x2=3/4（3/4≤1,符合条件）时,取到等号.）
=3√2/4
综上所述,得：X√1+Y2的最大值为3√2/4
x2+y2/2=1代入x-√1+y2的得到的公式求一介导得到1+2/(3-2*x^2)^(1/2)*x 令1+2/(3-2*x^2)^(1/2)*x=0得到两个数 代入x-√1+y2大的
就是答案了
三角换元，x=cosa； y=√2*sina
x-√1+y2=cosa-√(1+2(sina)2)=k (k表示所求的数）
3(cosa)2-2kcosa+k2-3=0 在[-1,1]上有解
F(X)=3x2-2kx+k2-3,则 F(-1)*F(1)<=0 或 F(-1)*F(1)>=O且-1<=k/3<=1
解得：-2<=K<=2或-3<=k<=-2或2<=k<=3
取值为[-3,3],最大值为3