圆锥曲线的轨迹求法轨迹怎么求,说说
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 21:42:21
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圆锥曲线的轨迹求法
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,参数法和交轨法 参数法 动点的变化是由某个量的变化引起的,可设这个量为参数,把动点的两个坐标分别表示成参数的函数,最后消去参数,可得轨迹方程.例:如图,过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线L1与L2,且L1与x轴交于M点,L2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.解法一:(参数法) 当L1不平行于y轴时,设L1的斜率为k1 ∵L1 L2 ∴L2的斜率为- L1的方程为y-b=k1(x-a)………① L2的方程为y-b=-(x-a)………② 在①中令y=0 得M点的横坐标x0=a- 在②中令x=0 得M点的纵坐标y0=b+ 设MN中点P的坐标为(x,y) 则 消去k1得 2ax+2by-a2-b2=0 (x≠) 当L1平行于y轴时 MN中点(,)也满足方程 ∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.解法二:(直译法) 当直线AM斜率存在时 设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y) 于是kAM= ,kAN= ∵L1L2 ∴ =-1 化简得2ax+2by-a2-b2=0 (x≠) 当直线AMx轴时,此时MN中点(,)也满足方程 ∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.解法三:(几何法) 易知OMAN四点共圆,MN是直径,P是圆心 故|OP|=|PA| 设P(x,y) ∴x2+y2= (x-a)2+(y-b)2 化简得2ax+2by-a2-b2=0.交轨法 求两动曲线交点的轨迹问题,先把两动曲线的方程用某个参数表示出来,消去参数就得交点的轨迹方程.例:已知向量i=(1,0),j=(0,1),经过点M(0,3t)且以i+tj(t∈R且t≠0)为方向向量的直线L1与经过点N(0,)且以-i+j为方向向量的直线L2相交于P点,问是否存在两个定点F1,F2,使|PF1|+|PF2|为定值 若存在,求出点F1,F2的坐标,若不存在,说明理由.由i+tj知L1的斜率为k1= ∴L1:y=3t(x+1)…………① 由-i+j知L2的斜率为k2=- ∴L2:y=-(x-1)………② 由①×②得 P点的轨迹方程为+=1 故存在F1(0,-5 ),F2(0,5 )使|PF1|+|PF2|=6为定值.