求数学帝解几何题 20分在等腰直角三角形ABC中,角C=90° D是直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC.AD.AB于E O F 三点且BC=2 CD=2（根号2 -1)试说明四边形AFDE是菱形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 21:10:29
求数学帝解几何题 20分在等腰直角三角形ABC中,角C=90° D是直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC.AD.AB于E O F 三点且BC=2 CD=2（根号2 -1)试说明四边形AFDE是菱形
求数学帝解几何题 20分
在等腰直角三角形ABC中,角C=90° D是直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC.AD.AB于E O F 三点且BC=2 CD=2（根号2 -1)试说明四边形AFDE是菱形
求数学帝解几何题 20分在等腰直角三角形ABC中,角C=90° D是直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC.AD.AB于E O F 三点且BC=2 CD=2（根号2 -1)试说明四边形AFDE是菱形
证明：
过D作DH⊥AB于H,则
根据题意,得
BD=BC-CD=2-2(√2-1)=2(2-√2)
在等腰直角三角形BDH中,有
DH=BD/√2=√2(2-√2)=2(√2-1)=CD
又∵∠AHD=∠ACD=90°,AD=AD
∴Rt△AHD≌Rt△ACD （HL）
∴∠DAH=∠DAE
又∵AO⊥EF,AO=AO
∴△AOF≌△AOE（ASA）
∴OE=OF
∵EF是AD的垂直平分线
∴AD和EF互相垂直平分
根据菱形的性质,知
四边形AEDF是菱形
得证
∵ 等腰直角三角形ABC BC=2 CD=2（根号2 -1)
∴AC=2 BD=2-2√2＋2=4-2√2 AB=2√2
BD/CD=(4－2√2)/[2(√2－1)]=(2-√2)/（√2－1）=√2=AB/AC
∴AD是∠BAC 的角平分线 (角平分定理)
∵AD的垂直平分线EF
∴AE=DE AF=DF
∵AO=A...
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∵ 等腰直角三角形ABC BC=2 CD=2（根号2 -1)
∴AC=2 BD=2-2√2＋2=4-2√2 AB=2√2
BD/CD=(4－2√2)/[2(√2－1)]=(2-√2)/（√2－1）=√2=AB/AC
∴AD是∠BAC 的角平分线 (角平分定理)
∵AD的垂直平分线EF
∴AE=DE AF=DF
∵AO=AO ∠AOE＝∠AOF=90° ∠OAE=∠OAF(已证)
∴△AOE≌△AOF ∴AE=AF
∴AE=AF=DE=DF ∴ 四边形AFDE是菱形
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