证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:46:03
证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1
证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1
证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1
证明：
首先证明∑[i=1,n]λi^2=∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji
由于A^2的特征根为λ1^2,λ2^2,...,λn^2（想知道这个结论的证明可以另外定向提问）
且特征跟的和即主对角线上所有元素的和（想知道这个结论的证明可以另外定向提问）
而A^2上主对角线上元素的和为∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji
故∑[i=1,n]λi^2=∑[i=1,n]∑[j=1,n]aijaji①
且有柯西不等式：[∑[i=1,n](aibi)]^2≤∑[i=1,n]ai^2∑[i=1,n]bi^2②
其次结合上述结论,对n用数学归纳法：
当n=1时由①知λ^2=a^2,因为a
这个证明有种比较简单的想法.
假如在n维线性空间上的某种范数‖‖下我们证明了‖AX‖<‖X‖对任意非零向量X成立.
则对任意特征值λ, 存在属于λ的特征向量X, 即有AX = λX (严格来说这里有点问题, 后面再说).
代入得‖X‖>‖AX‖=‖λX‖=|λ|‖X‖, 于是就能证明所要的|λ|<1.
对本题来说, 范数‖‖可取为max{|x_k|}, 即各分量绝对...
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这个证明有种比较简单的想法.
假如在n维线性空间上的某种范数‖‖下我们证明了‖AX‖<‖X‖对任意非零向量X成立.
则对任意特征值λ, 存在属于λ的特征向量X, 即有AX = λX (严格来说这里有点问题, 后面再说).
代入得‖X‖>‖AX‖=‖λX‖=|λ|‖X‖, 于是就能证明所要的|λ|<1.
对本题来说, 范数‖‖可取为max{|x_k|}, 即各分量绝对值的最大值, 得到如下证明.
对非零向量X, 向量Y=AX有y_i=a_i1*x_1+a_i2*x_2+...+a_in*x_n.
|y_i|≤|a_i1|*|x_1|+|a_i2|*|x_2|+...+|a_in|*|x_n|≤(|a_i1|+|a_i2|+...+|a_in|)*max{|x_k|}
由上述不等式, |λ|*max{|x_k|}=max{|λ*x_k|}
当讨论的是实矩阵的复特征值时, 需要到复数域里找特征向量.
这就是前面说到的问题, 但是我们的范数不等式对复向量也适用, 因此不影响得到结果.
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