线性代数证明题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:50:16
线性代数证明题,
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用{}表示下标
1.先将原行列式按第n列分解为两个行列式之和
|1+a{1} 1 1 ...1 | |1+a{1} 1 1 ...1 | |1+a{1} 1 1 ...0 |
| 1 1+a{2} 1 ...1 | | 1 1+a{2} 1 ...1 | | 1 1+a{2} 1 ...0 |
记D{n}= | 1 1 1+a{3} ...1 |=| 1 1 1+a{3} ...1 |+ | 1 1 1+a{3} ...0 |
| ...............| | ...............| |...............|
| 1 1 ......1+a{n} | | 1 1 ......1 | | 1 1 ......a{n} |
2.第一个行列式各行减去最后一行,第二个行列式按第n列展开
| a{1} 0 0 ...0 | | 1+a{1} 1 1 ...1 |
| 0 a{2} 0 ...0 | | 0 1+a{2} 1 ...1 |
=| 0 0 a{3} ...0 |+a{n}*| 0 1 1+a{3} ...1 |
| ...............| | ...............|
| 1 1 ......1 | | 0 1 ......1+a{n-1} |
3.第一个行列式按第n列展开
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}+a{n}*D{n-1}
递推可得
D{n}=a{1}*a{2}*...*a{n-1}+a{n}*D{n-1}
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}+a{n}*[a{1}*a{2}*...*a{n-2}+a{n-1}*D{n-2}]
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}*a{n}*[1/a{n}+1/a{n-1}]+a{n}*a{n-1}*D{n-2}
=...
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}*a{n}*[1/a{n}+1/a{n-1}+...+1/a{3}]+a{n}*a{n-1}*...*a{3}*D{2}
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}*a{n}*[1/a{n}+1/a{n-1}+...+1/a{3}]+a{n}*a{n-1}*...*a{3}*|1+a{1} 1 |
| 1 1+a{2} |
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}*a{n}*[1/a{n}+1/a{n-1}+...+1/a{1}]+a{n}*a{n-1}*...*a{3}*a{2}*a{1}
=a{1}*a{2}*...*a{n-1}*a{n}*[1+∑(i=1,n)1/a{i}]