已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0,F(x)=f(x)+g(x).(1)若X=1/2是函数y=F(X)的极值点,求实数a的值(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3】)的图像上任意一点处切线的斜率K≤5/2恒成立,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/02 18:09:12
已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0,F(x)=f(x)+g(x).(1)若X=1/2是函数y=F(X)的极值点,求实数a的值(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3】)的图像上任意一点处切线的斜率K≤5/2恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0,F(x)=f(x)+g(x).
(1)若X=1/2是函数y=F(X)的极值点,求实数a的值
(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3】)的图像上任意一点处切线的斜率K≤5/2恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0,F(x)=f(x)+g(x).(1)若X=1/2是函数y=F(X)的极值点,求实数a的值(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3】)的图像上任意一点处切线的斜率K≤5/2恒成立,求实数a的取值范围
(1)F(X)=x+a/x-3+x+lnx
F导数(x)=1-a^2/x^2+1+1/x=1/x-a^2/x^2+2
∴2-4a^2+2=0,∵a>0
∴a=1
(2)F′(x)=1-a^2/x^2+1+1/x=1/x-a^2/x^2+2对任意的x∈(0,3]恒成立
∴2a2≥-x2+2x对任意的x∈(0,3]恒成立,
∴2a2≥(-x2+2x)max,而当x=1时,-x2+2x=-(x-1)2+1取最大值为1,
∴2a2≥1,且a>0,∴a≥根号2/2
(1)a=1/2 第一小题不用说了
(2)先求导,K=那条求导式,又因为K≤5/2,即能求得h(x)=x² 2-2x+4a≥0。但此处要分情况;这属于定区间动轴问题,轴在0的左边则h(0)≥0;轴在中间则△<0;轴在3右边则h(3)≥0;最后求交集即可。