求微分方程xy'+(1-x)y=e^(2x)(0

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 22:05:34
求微分方程xy''+(1-x)y=e^(2x)(0求微分方程xy''+(1-x)y=e^(2x)(0求微分方程xy''+(1-x)y=e^(2x)(0xy''+(1-x)y=e^(2x)xy''+y-xy=e^

求微分方程xy'+(1-x)y=e^(2x)(0
求微分方程xy'+(1-x)y=e^(2x)(0

求微分方程xy'+(1-x)y=e^(2x)(0
xy'+(1-x)y=e^(2x)
xy'+y-xy=e^(2x)
(xy)'-xy=e^(2x)
特征方程r-1=0
因此齐次通解是xy=Ce^x
设非齐次特解是xy=ae^(2x)
(xy)'=2ae^(2x)
代入原方程得
2ae^(2x)-ae^(2x)=e^(2x)
a=1
因此非齐次特解是xy=e^(2x)
因此方程的通解是
xy=Ce^x+e^(2x)
y=[Ce^x+e^(2x)]/x
lim(x→0+) y(x)=1
lim(x→0+) [Ce^x+e^(2x)]/x (0/0)
=lim(x→0+) [Ce^x+2e^(2x)]
=1
C=-2
因此特解是
y=[-2e^x+e^(2x)]/x

如楼上所解，方程的通解是
xy=Ce^x+e^(2x)
y=[Ce^x+e^(2x)]/x
lim(x→0+) y(x)=1
lim(x→0+) [Ce^x+e^(2x)]/x (0/0)
=lim(x→0+) [Ce^x+2e^(2x)]
=1
C=-1 （不是-2）
因此特解是
y=[-e^x+e^(2x)]/x

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