等腰三角形ABC,角ABC等于120度,P是底边AC上一个动点MN分别是ABBC的中点,若PM加PN的最小为2,三ABC的周
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 21:22:12
等腰三角形ABC,角ABC等于120度,P是底边AC上一个动点MN分别是ABBC的中点,若PM加PN的最小为2,三ABC的周
等腰三角形ABC,角ABC等于120度,P是底边AC上一个动点MN分别是ABBC的中点,若PM加PN的最小为2,三ABC的周
等腰三角形ABC,角ABC等于120度,P是底边AC上一个动点MN分别是ABBC的中点,若PM加PN的最小为2,三ABC的周
作BD垂直AC交AC于D,连接DN、DM,作NE垂直AC交MD延长线于E,交AC于O,
角C=30度,角CDB=60度,
DN是直角三角形斜边中线,
DN=NC,
OD=OC,
MD平行BC,
三角形DOE和CON全等,
ON=OE,DE=DN,
当P与D重合时,PM加PN的最小.
MD+DN=2,
易证DM=DN=1/2AC,
AC=2=BC,
BD=1
AC=2DC=2倍根号3
三角形ABC的周长=4+2倍根号3
4+2*根号3
在AC上任取一点P，连接PM、PN
容易知道MN平行AC，而且点P到MN距离为定值。
设角PMN=θ，角PNM=α。令P到MN距离为H
所以PM+PN=(H/sinθ)+(H/sinα)=H(1/sinθ+1/sinα)
由均值不等式知道，当1/sinθ=1/sinα时，取最小
所以θ=α。所以PM=PN时为最小
设D为AC中点，所以(DM+DN)为...
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在AC上任取一点P，连接PM、PN
容易知道MN平行AC，而且点P到MN距离为定值。
设角PMN=θ，角PNM=α。令P到MN距离为H
所以PM+PN=(H/sinθ)+(H/sinα)=H(1/sinθ+1/sinα)
由均值不等式知道，当1/sinθ=1/sinα时，取最小
所以θ=α。所以PM=PN时为最小
设D为AC中点，所以(DM+DN)为最小值=2
所以DM=DN=1
因为ABC为等腰三角形，角ABC=120度
所以角MDN=120度
所以MN=根号3
所以AC=2倍根号3
所以AB=BC=2
所以三角形周长=2+2+2倍根号3=4+2倍根号3
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