一道几何题求证如图,A,B,C三点不在一条直线上,分别以AB,BC为边在AC同侧边作等边三角形ABD和等边三角形BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G.求证BF=BG.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 21:22:16
一道几何题求证如图,A,B,C三点不在一条直线上,分别以AB,BC为边在AC同侧边作等边三角形ABD和等边三角形BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G.求证BF=BG.
一道几何题求证
如图,A,B,C三点不在一条直线上,分别以AB,BC为边在AC同侧边作等边三角形ABD和等边三角形BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G.求证BF=BG.
一道几何题求证如图,A,B,C三点不在一条直线上,分别以AB,BC为边在AC同侧边作等边三角形ABD和等边三角形BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G.求证BF=BG.
题目是错的,证明不了
AE=DC,但BF≠BG.
(1)AE=DC.
∵△ABD和△BCE为等边三角形
∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,
即∠ABE=∠CBD,
∴△ABE≌△DBC(边角边).
∴AE=DC(全等三角形对应边相等),
∠BAE=∠BDC(全等三角形对应角相等).
(2)BF≠BG.
若BG=BF,
可以得到△ABF≌△DBG(证明略,有点麻烦,要利用高等数学)
∴∠ABF=∠DBG=60°
∵∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE,
所以A、B、C在同一条直线上,这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾,
∴BF≠BG.
用三角形二次全等
首先证△ABE≌△DBC
从而得出∠EAB=∠CDB
然后再证△ABF≌△DBG
得证。
这种题目实际是利用正三角形的性质而得来的,一般要用到正三角形三边相等和三角相等,方法肯定是三角形全等。
ABE=DBC 所以BF=BG
题目无法证明BF=BG
等边三角形BCE可以B点为轴在ABC的平面内旋转,旋转过程中,当BG垂直于CD时,BG最短;同理BF垂直于AE时,BF最短。BF与BG是变量!