已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 09:08:04
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:

已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项

已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
a(n+1)=an/(an+3).整理得
1/a(n+1)=3/an +1
令1/an=bn,b1=a1=1
b(n+1)=3bn+1
b(n+1)+1/2=3(bn+1/2)
令bn+1/2=Tn,T1=b1+1/2=3/2
Tn=3/2.3^(n-1)
bn=3/2.3^(n-1)-1/2
an=1/(3/2.3^(n-1)-1/2)

(1)an+1=an/(an+1), 求倒数,1/an+1=(an+1)/an
=1+1/an,所以1/an+1-1/an=1,所以数列1/an是等差数列,公差为1,1/an=1/a1+(n-1)*1=n,所以an=1/n
(2)cn=2^n/an=n*2^n
用错位相减法求数列cn的前n项和,可得
和=2+(n-1)2^(n+1)

∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴{1/an}是一个首项为1/a1=1,公差为1的等差数列,
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n,其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn...

全部展开

∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴{1/an}是一个首项为1/a1=1,公差为1的等差数列,
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n,其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn= 1·4+2·8+…+(n-1)·2^n+n·2^(n+1) ② (错位想减)
②-①,Tn=n·2^(n+1)-1·2-1·4-1·8-…-1·2^n
=n·2^(n+1)-(2^(n+1)-2)
=(n-1) ·2^(n+1)+2

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