怎样求二次函数解析式?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 16:52:44
怎样求二次函数解析式?
怎样求二次函数解析式?
怎样求二次函数解析式?
巧取交点式法\x0d知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1,x2\x0d分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便．\x0d典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式．\x0d例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点（2,8）,求二次函数的解析式．\x0d析解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x－1),∵过点（2,8）,∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2,∴抛物线的解析式为y＝2(x+2)(x－1),\x0d即y＝2x2+2x－4.典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交\x0d点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解.例2已知二次函数的顶点坐标为（3,－2）,并且图象与x轴两交点间的距离为4\x0d．求二次函数的解析式.思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决．由顶点坐标为（3,－2）的条件,易知其对称轴为x＝3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1,0）和（5,0）．此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式．\x0d顶点式的妙处\x0d顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0）,其中（h,k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a．在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题．在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便．\x0d典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数\x0d顶点式.例3已知抛物线的顶点坐标为（-1,-2）,且通过点（\x0d1,10）,求此二次函数的解析式.析解∵顶点坐标为（-1,-2）,\x0d故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把点（1,10）代入上式,得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1．典型例题二：如果a0,那么当x= -b2a时,y有最小\x0d值且y最小=4ac-b24a；如果a<0,那么,当x=-b2a时,y有最大值,且y最大=4ac-b24a．告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标\x0d,同样也可以求出顶点式.例4 已知二次函数当x＝4时有最小值－3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析\x0d式.析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3,∴顶点坐标为（4,\x0d－3）,对称轴为直线x＝4,抛物线开口向上.由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1,0）和（7,0）．\x0d∴抛物线的顶点为（4,－3）且过点（1,0）．故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3．将（1,0）代入得0＝a(1－4)2－3,解得a＝13．\x0d∴y＝13(x－4)2－3,即y＝13x2－83x＋73.典型例题三：告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出．\x0d例如（1）已知二次函数的图象经过点A（3,-2）和B（1,0）,且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点（0,2）,且过点（-1,0）,求这个二次函数的解析式.（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1,4）和点（5,0）,求此抛物线的解析式.（4）二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式．（此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm）\x0d典型例题四：利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便.