求圆心在直线2x+y=0上且与直线x+y-1=0相切于点（2,-1）的圆的标准方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 12:52:08
求圆心在直线2x+y=0上且与直线x+y-1=0相切于点（2,-1）的圆的标准方程
求圆心在直线2x+y=0上且与直线x+y-1=0相切于点（2,-1）的圆的标准方程
求圆心在直线2x+y=0上且与直线x+y-1=0相切于点（2,-1）的圆的标准方程
切线x+y-1=0的斜率为 -1
过切点（2,-1）作的圆的法线方程,斜率为 1
y -(-1) = x - 2 ,即 y = x - 3
圆心就是 直线2x+y=0 与 y = x - 3的交点,求得 (1,-2)
半径为 点（2,-1）与(1,-2)之间的距离
半径的平方 r^2 = 2
圆的标准方程：(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2
因为圆与直线x+y-1=0相切于点（2，-1）
所以过切点（2，-1），且与直线x+y-1=0垂直的直线必过圆心
直线x+y-1=0化为：y=-x+1
所以设过切点（2，-1），且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为：
y=kx+b
因为与y=-x+1垂直
所以必有斜率之积=-1
所以1*k=-1
k=1
故方程为y=x+b<...
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因为圆与直线x+y-1=0相切于点（2，-1）
所以过切点（2，-1），且与直线x+y-1=0垂直的直线必过圆心
直线x+y-1=0化为：y=-x+1
所以设过切点（2，-1），且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为：
y=kx+b
因为与y=-x+1垂直
所以必有斜率之积=-1
所以1*k=-1
k=1
故方程为y=x+b
带入点（2，-1）得：
b=-3
故过切点（2，-1），且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为
y=x-3
又因为圆心在直线2x+y=0上
所以圆心必然是直线y=x-3与直线2x+y=0的交点
解出x=1,y=-2
圆心坐标为（1，-2）
圆心离切点（2，-1）距离（即圆半径）为：
根号[（1-2）平方+（-2+1）平方]=根号2
所以圆方程为：（x-1）平方+（y+2）平方=2
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因为所求圆的圆心在直线2x+y=0上，则不妨设圆心坐标为（x,-2x）。我们知道，过圆心（x,-2x)和切点(2,-1)的直线与切线垂直，两者斜率之积等于 -1 ，且已知切线斜率为 -1 ，可得 ： [-2x-(-1)]/(x-2)=1
解之得 x=1 , 所以圆心坐标为 (1,-2)
设圆的半径为R，则R²=(-2+1)²+(1-2)²=2
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因为所求圆的圆心在直线2x+y=0上，则不妨设圆心坐标为（x,-2x）。我们知道，过圆心（x,-2x)和切点(2,-1)的直线与切线垂直，两者斜率之积等于 -1 ，且已知切线斜率为 -1 ，可得 ： [-2x-(-1)]/(x-2)=1
解之得 x=1 , 所以圆心坐标为 (1,-2)
设圆的半径为R，则R²=(-2+1)²+(1-2)²=2
则所求圆方程为 (x-1)²+(y+2)²=2
收起