过圆x^2+y^2=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹求弦AB的中点M的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:04:21
过圆x^2+y^2=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹求弦AB的中点M的轨迹方程
过圆x^2+y^2=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹
求弦AB的中点M的轨迹方程
过圆x^2+y^2=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹求弦AB的中点M的轨迹方程
利用垂径定理
则OM⊥AB
即OM⊥PM
设M(x,y)
则OM=(x,y),PM=(x-4,y)
∴ OM.PM=0
即x(x-4)+y²=0
∴ x²+y²-4x=0
∴ (x-2)²+y²=4
注意到弦的中点需要在圆内部
∴ M的轨迹方程是 (x-2)²+y²=4（在圆x²+y²=5的内部.）
过圆x²+y²=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程
设过点P的直线的方程为y=k(x-4)=kx-4k，代入园的方程得：
x²+(kx-4k)²-5=(1+k²)x²-8k²x+16k²-5=0
设A(x₁，y₁)；B(x̀...
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过圆x²+y²=5外一点P(4,0)作直线与圆相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程
设过点P的直线的方程为y=k(x-4)=kx-4k，代入园的方程得：
x²+(kx-4k)²-5=(1+k²)x²-8k²x+16k²-5=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂）；依维达定理，有：
x₁+x₂=8k²/(1+k²)；
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-8k=8k³/(1+k²)-8k=-8k/(1+k²)；
设AB中点M的坐标为(x，y)，则有等式：
x=(x₁+x₂)/2=4k²/(1+k²)................(1)
y=(y₁+y₂)/2=-4k/(1+k²)................(2)
(1)÷(2)得x/y=-k，其中k=y/(x-4)，代入之，得x/y=-y/(x-4)；
即x(x-4)+y²=0，也就是x²-4x+y²=(x-2)²-4+y²=0，写成标准形式就是(x-2)²+y²=4.(0≦x≦5/4)
这是一个圆心在(2，0)，半径为2的不完整的园.
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