函数 f(x)=ln(x+1) 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为 y=g(x) ,证明,对所有x属于（-1,+∞）f(x)小于等于g(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 00:42:16
函数 f(x)=ln(x+1) 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为 y=g(x) ,证明,对所有x属于（-1,+∞）f(x)小于等于g(x)
函数 f(x)=ln(x+1) 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为 y=g(x) ,证明,对所有x属于（-1,+∞）f(x)小于等于g(x)
函数 f(x)=ln(x+1) 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为 y=g(x) ,证明,对所有x属于（-1,+∞）f(x)小于等于g(x)
f'(x) = 1/(x + 1)
点(x0,y0)处的切线方程为:y - ln(x₀ + 1) = (x - x₀)/(x₀ + 1)
y = g(x) = (x - x₀)/(x₀ + 1) + ln(x₀ + 1)
h(x) = g(x) - f(x) = (x - x₀)/(x₀ + 1) + ln(x₀ + 1) - ln(x + 1)
h'(x) = 1/(x₀ + 1) - 1/(x + 1) = (x - x₀)/[(x₀ + 1)(x + 1)]
x > -1,x₀ > -1,x₀ + 1 > 0,x + 1 > 0
-1 < x < x₀:h'(x) < 0,减函数
x > x₀:h'(x) > 0,增函数
x = x₀时,h(x)取最小值,h(x₀) = (x₀ - x₀)/(x₀ + 1) + ln(x₀ + 1) - ln(x₀ + 1) = 0
即x > -1,g(x) ≥ f(x)
g(x)=x-x0/x0+1 +ln(x0+1)
令F(x)=g(x)-f(x)=x-x0/(x0+1) +ln[(x0+1)/(x+1)]=(x+1)/(x0+1)+ln[(x0+1)/(x+1)]-1
记t=(x0+1)/(x+1), 则F(X)=H（t）=1/t+lnt-1 , t属于(0, 正无穷)
求导可知 H 在t=1时取最小 H(1)=0
所以H（t...
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g(x)=x-x0/x0+1 +ln(x0+1)
令F(x)=g(x)-f(x)=x-x0/(x0+1) +ln[(x0+1)/(x+1)]=(x+1)/(x0+1)+ln[(x0+1)/(x+1)]-1
记t=(x0+1)/(x+1), 则F(X)=H（t）=1/t+lnt-1 , t属于(0, 正无穷)
求导可知 H 在t=1时取最小 H(1)=0
所以H（t）>=0 F(X)>=0
原命题得证。
另外这个函数在除了（x0,y0）外任何一点的切线都在该函数图像的上方，所以必然有f(x)<=g(x)
当然，这种方法只是分析而已！
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