菱形ABCD点E、F在对角线BD上,BE=DF=1/4BD若四边形AECF为正方形求sin∠ABC
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 19:58:31
菱形ABCD点E、F在对角线BD上,BE=DF=1/4BD若四边形AECF为正方形求sin∠ABC
菱形ABCD点E、F在对角线BD上,BE=DF=1/4BD若四边形AECF为正方形求sin∠ABC
菱形ABCD点E、F在对角线BD上,BE=DF=1/4BD若四边形AECF为正方形求sin∠ABC
因为BE=DF=1/4BD,根据菱形性质
所以BE=EO=OF=FD,∠AOE=90度
因为AECF为正方形
所以AE=EC=CF=AF
∠AD0=∠EOC=45度
设AO=1,
所以BO=2
所以AB=根号5,同理BC=AB=根号5
根据余弦定理:cos∠ABC=(AB平方+BC平方-AC平方)/2AB*BC=3/5
易得出:sin∠ABC =4/5
AB^2= AO^2 + BO^2; AO=BD/4; BO=BD/2
sin( ∠ABC/2)= AO/AB=1/ (5)^(1/2)
COS( ∠ABC/2)= BO/AB= 2/ (5)^(1/2)
sin( ∠ABC)= 2sin( ∠ABC/2) cos( ∠ABC /2)
=4/5
因为BE=DF=1/4BD,OB=1/2BD
所以OE=BE
在RT三角形AOB中OE=OB=AE即∠ABE=∠BAE=∠CBE
∠ABE+∠BAE=∠ABC =∠AEO=45度
所以sin∠ABC=1:根号2
过A作AG⊥BC于G 设OC=a ∵BE=DF=1/4BD ∴EF=1/2BD ∵四边形AFCE是正方形 ∴BE=EO=OF=FD=AO=OC=a,AC⊥BD ∴∠BOC=∠AGB=90° ∴BC=√5a ∵∠ACG=∠BCO ∴Rt△ACG∽Rt△BCO ∴AG/AC=BO/BC 即:AG/2a=2a/(√5a) ∴AG=(4/√5)a ∴sin∠ABC=AG/AB=[(4/√5)a]/(√5a)=4/5