求一个特别难得推理题,

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史上最难逻辑谜题 (意大利文：L'indovinello più difficile del mondo；英文：The Hardest Logic Puzzle Ever) 乃美国哲学与逻辑学家 George Boolos 一篇文章的标题及其所载谜题的名称.该文章首先于1992年刊登在意大利《共和报》上,再于1996年在《哈佛哲学评论》刊登英语版.谜题乃改编自美国逻辑学家 Raymond Smullyan 的创作,其内容如下：
有代号 A, B, C 的三位神祇,只知他们名为“真实、虚谎、任性”,但不知哪个代号属哪个名字.真实之神只说真话,虚谎之神只说假话,而任性之神会随意说真话或假话.你的任务是利用三条是非题,找出 A, B, C 的身份,但每次只能向一位神祇发问.神祇们都懂得你的语言[注 1],但只会用他们的语言回答 "da" 或 "ja".这两种回答,一个解“是”,一个解“否”,但你不知道哪个回答是哪个意思.[注 2]
Boolos 于文中另有数点澄清：
你可以问一位神祇多于一条问题,也可以完全不问他问题.
你可以根据之前其他问题的答案,来决定下一条问题的内容.
任性之神如何作答,可以想像为他会在脑中掷铜板,若掷得正面,则回答真话；反面,则答假话.[注 3]
对于只有“是”或“否”两种答案的问题,任性之神只会回答 da 或 ja.
历史
Boolos 将发明此谜题的功劳归于 Raymond Smullyan,而“不知 da, ja 为何义”的变奏则归功于编程语言 Lisp 的发明者及图灵奖得主 John McCarthy.Smullyan 创作过许多著名的“武士与无赖谜题”(Knights and Knaves puzzles),譬如在一个虚构的岛上,岛民若非只说真话的武士,就是只说谎的无赖,而谜题的主旨,就是问访客如何靠询问一些只有“是/否”两种答案的问题,来获取所需情报.1986年电影《魔幻迷宫》(Labyrinth) 也有此等情节：有两道门,各由一名门卫把守.一道门通向城堡,另一道会引至“某种死亡方式”.门卫之中,一个说真话,一个会说谎.主角要靠问一条问题来找出通往城堡之路.最后主角问的是：“他（即另一名门卫）会否说这道门通往城堡?”
广义来说,“史上最难逻辑谜题”可视为这类“武士与无赖谜题”的伸延.从 Smullyan 的著作中,亦可找到类似的谜题.例如在《What is the Name of This Book》第149-156页,他就描写一个海地岛屿,当中一半住民为只说谎话的丧尸,另一半住民为只说真话的人类.尽管全体居民都谙英语,但古老的禁忌禁止他们用土话以外的语言交流.若问他们一条只有“是/否”答案的问题时,他们会回答 Bal 或 Da — 其中有一个解“是”,另一个解“否”,但岛外人事前不知哪个才是“是”,哪个才是“否”.另一著作《The Riddle of Sheherazade》亦有其他相关谜题.

Boolos 的解答
此谜题有多个解答.Boolos 在原文中提出了其中之一（下一节将介绍另一个由 Rabern and Rabern (2008)设计,相当简洁易明的解答）.他的解答之中,第一条问题的目的,在于找出一位并非任性的神.这是最关键的一步.Boolos 在原文中详述了这步是如何设计出来,但此处不赘.他的问题,是问 A：
1)（Da 的意思是“是”）当且仅当（（你是真实）当且仅当（B 是任性））吗?
上述问题用了逻辑学的术语“当且仅当”,一般人可能难于理解.然而,运用真值表计算,可以证明以上问题等价于以下者：
1) “Da 的意思是‘是’”、“你是真实”、“B 是任性”三项命题之中,是否有单数的命题为真?
之后两条问题的发问对象,取决于第一条问题的答案.若 A 回答 da,余下两条问题将向 C 发问；若 A 回答 ja,余下两条问题将向 B 发问.可以证明,以此计策选出来的发问对象,必然是真实之神或虚谎之神两者之一,而绝非任性之神.
第二条问题的目的,是在不明 da 及 ja 语义的情况之下,确认发问对象（已知为真实或虚谎两者之一）的身份.问题内容是：
2)（Da 的意思是“是”）当且仅当（罗马位于意大利）吗?
或者等价而简单地问：
2) Da 的意思是“是”吗?
可以证明,不管 da, ja 两者哪个指“是”,哪个指“否”,只要对方回答 da,就表示他是真实之神；若回答 ja,则为虚谎之神.
由于第二条问题的发问对象（视乎情况,是 B 或 C）的身份已经锁定,只要 A 的身份也能确知,余下一神的身份亦可推得.因此,此时我们所关心的命题为
X: A 是任性.
暂且不理 X 的内涵,先视它为一般命题.第三条问题的重点,是面对真实（或虚谎）之神,如何在 da, ja 语义不明的情况之下,针对任意的命题 X,设计出一条可以套出 X 真伪的复合问题 Q(X).Boolos 所用的,是如下的复合问题——
Q(X):（Da 的意思是“是”）当且仅当 X 吗?
换成一般人也能理解的问法,就是：
Q(X): “Da 的意思是‘是’”与 X 两个命题,是否全对或全错?
那么：
若发问对象为真实之神,而他回答 da,则 X 为真；若回答 ja,则 X 为伪.
若发问对象为虚谎之神,而他回答 da,则 X 为伪；若回答 ja,则 X 为真.
将 X 换回具体内容“A 是任性”,第三条问题就是：
3)（Da 的意思是“是”）当且仅当（A 是任性）吗?
或者等价地：
3) “Da 的意思是‘是’”与“A 是任性”两个命题,是否全对或全错?
因此：
若发问对象为真实之神,而他回答 da,则 A 是任性之神,否则 A 为虚谎之神.
若发问对象为虚谎之神,而他回答 da,则 A 乃真实之神,否则 A 为任性之神.
既知第二、三两条问题的发问对象（视乎情况,是 B 或 C）与 A 的身份,余下一神的身份可用消去法得知.留意谜题并无要求找出 da 及 ja 的语义,而 Boolos 提供的解答亦不能保证可解释两者的意思.

Rabern and Rabern 的解答
Rabern and Rabern (2008) 发现,只要利用一种特殊的复合问题,就可以将所谓“史上最难逻辑谜题”转化为一道极为显浅的谜题.
首先,对任何问题 Q,都可以定义如下的内嵌问题 (embedded question)：
E(Q): 若用你此刻的心态 (mental state)[注 4]来回答 Q 这条问题,你会回答 "ja" 吗?
Rabern and Rabern 证明了以下引理.
内嵌问题引理 (Embedded Question Lemma)： 无论向哪一位神祇发问 E(Q),若他回答 ja,则表示 Q 的真正答案必为“是”；若答 da,则 Q 的真正答案必为“否”.[注 5]
利用此引理,原来的谜题可以转化成以下的简单谜题：
有代号 A, B, C 的三位神祇,只知他们名为 "Zephyr, Eurus, Aeolus"[注 6],但不知哪个代号属哪个名字.三位神祇均只说真话.你的任务是利用三条是非题,找出 A, B, C 的身份,但每次只能向一位神祇发问.神祇们都懂得你的语言,并会用你的语言作答.
这个简化版的谜题很容易解决.譬如设定三条问题如下——
Q1: 你是 Zephyr 吗?
Q2: 你是 Eurus 吗?
Q3: 你是 Zephyr 吗?[注 7]
那么 A, B, C 的身份可以轻易用以下策略套出：
A答Q1
是 否

B答Q2 A答Q2
是 否 是 否

A=Zephyr
B=Eurus
C=Aeolus A=Zephyr
B=Aeolus
C=Eurus B答Q3 B答Q3
是 否 是 否

A=Eurus
B=Zephyr
C=Aeolus A=Eurus
B=Aeolus
C=Zephyr A=Aeolus
B=Zephyr
C=Eurus A=Aeolus
B=Eurus
C=Zephyr

现在要将以上策略转化回解决 Boolos 谜题的方案.首先,将“真实、虚谎、任性”三神随意标签为 Zephyr, Eurus, Aeolus 三者,例如 Zephyr=任性、 Eurus=真实、Aeolus=虚谎（实际上如何标签三位神祇,并不重要）,于是 Q1, Q2, Q3 变成
Q1: 你是任性之神吗?
Q2: 你是真实之神吗?
Q3: 你是任性之神吗?[注 8]
然后,从简化版谜题的发问流程中,将“是”换成 "ja",“否”换作 "da" [注 9] ,并将每项问题 Qi 置换成内嵌问题 E(Qi),即可得出 Boolos 谜题的
A答E(Q1)
ja da

B答E(Q2) A答E(Q2)
ja da ja da

A=任性
B=真实
C=虚谎 A=任性
B=虚谎
C=真实 B答E(Q3) B答E(Q3)
ja da ja da

A=真实
B=任性
C=虚谎 A=真实
B=虚谎
C=任性 A=虚谎
B=任性
C=真实 A=虚谎
B=真实
C=任性

简化版谜题的任何其他解答,均可以如法炮制成解决 Boolos 谜题的方案.

附注
^ 《哈佛哲学评论》原文指神祇们都懂得英语.
^ "Da" 与 "ja" 其实都是斯洛文尼亚语之中“是”的意思（而“否”为 "ne"）,Boolos 只不过借用了这两个词语来作其他设定.
^ Boolos 所述的任性之神,乃任性地选择回答真话或假话,切勿与随意回答“是”或“否”混淆.举例说,解答某些逻辑谜题的常用伎俩,是设计一条（可能是复合）的问题,迫使诚实者及说谎者都回答“是”.面对如此问题,无论“任性地选择回答真话或假话的神”作何选择,他仍被迫（用他自己的语言）回答“是”.然而,对“随意回答是或否的神”来说,“是”或“否”都是可能的答案.
^ 即是他此刻究竟想回答真话抑或假话.
^ 留意,这并不是说 da 代表“是”或 ja 代表“否”.无论 da 与 ja 之中哪一个代表“是”,此引理依然正确.
^ 均为古希腊神祇名字.
^ 此处并非笔误,第三题的内容与第一题相同,只是询问对象有别.
^ 由于 Boolos 版的问题乃从简化版转化而来,此处第三题的内容亦与第一题相同.
^ 此置换乃根据内嵌问题的定义和内嵌问题引理而作出,而不是说 ja 的意思为“是”或 da 的意思为“否”.倘若将 E(Q) 重新定义为“若用你此刻的精神状况来回答 Q 这条问题,你会回答 "da" 吗?”那么在引理之中,da 及 ja 的角色将掉转,而将简化版谜题的发问流程转化时,就变成将“是”换作 "da",“否”换作 "ja".