高数之导函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:25:49
高数之导函数
高数之导函数
高数之导函数
对y=x^sinx (x>0)求导
对于这个问题,可以先变为简单问题的计算:对y=x^x (x>0)求导
y=x^x
所以ln(y)=x*ln(x)
所以[ln(y)]'=[x*ln(x)]'
所以(1/y)*y'=ln(x)+1
所以y'=y[ln(x)+1]=[ln(x)+1]*x^x (x>0)
同理:y=x^sinx (x>0)
所以ln(y)=sinx*[ln(x)]
所以[ln(y)]'={sinx*[ln(x)]}'
所以(1/y)*y'=ln(x)*cosx+(sinx)/x
所以y'=y*[ln(x)*cosx+(sinx)/x]=cosx*ln(x)*x^sinx+(sinx*x^sinx)/x (x>0)
温故知新：
在解决复杂问题前,可以先把问题简单化,使问题在力所能及的范围内.从简单到复杂,从特殊到一般,抓住问题的本质.
对于像y=x^sinx这样的函数,我们不能用常用公式来解决,因为自变量x同时出现在了底数与指数当中.但由于复合函数的求导公式为f'(g(x))=f'(u)*g'(x),所以,我们可以通过对等式两边同时求对数的方法,然后在同时求导,把y'换到符合函数当中,从而从另外一种途径达到最终目的.我们不能被书本禁锢,思维要活跃,有创造性,另辟蹊径,往往会有意外的收获.
取自然对数得
lny=sinxlnx
两边对x求导得
y'/y=cosxlnx+sinx/x
y'=(cosxlnx+sinx/x)*y
此题为复合函数求导
对y=x^sinx (x>0)求导
对于这个问题,可以先变为简单问题的计算:对y=x^x (x>0)求导
解:y=x^x两边取对数
即ln(y)=x^ln(x)
所以[ln(y)]'=[x^ln(x)]'
所以(1/y)^y'=ln(x)+1
所以y'=y[ln(x)+1]=[ln(x)+1...
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此题为复合函数求导
对y=x^sinx (x>0)求导
对于这个问题,可以先变为简单问题的计算:对y=x^x (x>0)求导
解:y=x^x两边取对数
即ln(y)=x^ln(x)
所以[ln(y)]'=[x^ln(x)]'
所以(1/y)^y'=ln(x)+1
所以y'=y[ln(x)+1]=[ln(x)+1]^x^x (x>0)
y=x^sinx (x>0)只需要将x变为sinx再对sinx求导即可
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