四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:15:32
四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
比如：证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =xOB +yOC +zOD ．
（必要性）依题意知,B、C、D三点不共线,
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得 \x05OA = \x05OB +x1 \x05BC +y1 \x05BD
= \x05OB +x1（ \x05OC - \x05OB ）+y1（ \x05OD - \x05OB ）
=（1-x1-y1） \x05OB +x1 \x05OC +y1 \x05OD ,
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,
则有 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD ,且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD ．
所以x=1-y-z得 \x05OA =（1-y-z） \x05OB +y \x05OC +z \x05OD ．
OA = \x05OB +y \x05BC +z \x05BD ,即：\x05BA =y \x05BC +z \x05BD ,
所以四点A、B、C、D共面．
所以,空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD ．