直线l垂直平面a,垂足为O,已知三角形ABC中,角ABC为直角,AB=2,BC=1,该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）点A属于直线l（2）点B在平面a上,则C,O两点间的最大距离为___
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 12:03:34
直线l垂直平面a,垂足为O,已知三角形ABC中,角ABC为直角,AB=2,BC=1,该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）点A属于直线l（2）点B在平面a上,则C,O两点间的最大距离为___
直线l垂直平面a,垂足为O,已知三角形ABC中,角ABC为直角,AB=2,BC=1,该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）点A属于直线l（2）点B在平面a上,则C,O两点间的最大距离为___
直线l垂直平面a,垂足为O,已知三角形ABC中,角ABC为直角,AB=2,BC=1,该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）点A属于直线l（2）点B在平面a上,则C,O两点间的最大距离为___
当A,B,C,O同平面时,才能够得到最大的CO.
经过C点做垂直于平面a的直线,平面a相交于点D链接OB、BD.
设角AOB为x,则OB=2sinx BD=cosx CD=sinx
f(x)=OC^2=OD^2+CD^2=(2sinx+cosx)^2+(sinx)^2.(式1)
对f(x)求导,f'(x)=-4*sin(x)^2+8*cos(x)*sin(x)+4*cos(x)^2,使用倍角公式化简后f'(x)=4(cos2x+sin2x),令f'(x)=0,得sin2x=√2/2,cos2x=-√2/2,进一步(sinx)^2=(1+-√2/2)/2,sinxcosx=√2/4,代入式1,得到OC^2=3+2√2,再开平方OC=1+√2.
所以C,O两点间的最大距离为1+√2.
只有当BC边与平面a平行时C,O两点的距离最大。（见图）因为△ABC是直角三角形 △AOB∽△ABC 可以求得：AC=√5 OA=2√5/5
在直角△AOC中 OA= 2√5/5 AC=√5 所以OC=√9
（1）当A,B,C,O同平面时，设OC与AB交于点E，则当C与A,B,O不同平面时，有OC
当OCM共线时取=，故OC的最大值为1+√2.