在三角形ABC中,P是BC上的一点,且BP+2PC,又D是AC的中点,AP与BD交于点O,试用 向量AB,AC 来表示向量AO会的说下打错了，是BP=2PC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 10:58:52
在三角形ABC中,P是BC上的一点,且BP+2PC,又D是AC的中点,AP与BD交于点O,试用 向量AB,AC 来表示向量AO会的说下打错了，是BP=2PC
在三角形ABC中,P是BC上的一点,且BP+2PC,又D是AC的中点,AP与BD交于点O,试用 向量AB,AC 来表示向量AO
会的说下
打错了，是BP=2PC
在三角形ABC中,P是BC上的一点,且BP+2PC,又D是AC的中点,AP与BD交于点O,试用 向量AB,AC 来表示向量AO会的说下打错了，是BP=2PC
我来试试吧.
先是基本解法
设AB=a,AC=b
向量定比分点知,
AP=1/3a+2/3b
BD=1/2(BA+BC)=1/2(-a+b-a)=-a+1/2b
又共线,设AO/AP=m,BO/BD=n
AO=m/3a+2m/3b
BO=-na+n/2b
又AO-BO=a=(m/3+n)a+(2m/3-n/2)b
a不平行于b
故 m/3+n=1
2m/3-n/2)=0 解得m=3/5
代入得AO=1/5a+2/5b
作为附加的,给LZ一个这种题目的简便做法
梅涅劳斯定理.（可以上度娘看看图）
由题：B,O,D共线则有
BC/CP PO/OA AD/DC=1=3/2*PO/OA*1=3/2PO/OA
AO=3/2OP=3/5AP=3/5(AC+CP)=3/5AC+1/5CB=3/5AC+1/5(AB-AC)=1/5AB+1/5AC
对BOD截ΔAPC运用梅涅劳斯定理，有(AO/OP)·(PB/BC)·(CD/DA)=1，得AO/OP=3/2
所以AO/AP=3/5
打不出向量符号，下面的边都表示向量
BC=-AB+AC，BP=(2/3)BC=-(2/3)AB+(2/3)AC
AP=AB+BP=(1/3)AB+(2/3)AC
AO=(3/5)AP=(1/5)AB+(2/5)AC...
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对BOD截ΔAPC运用梅涅劳斯定理，有(AO/OP)·(PB/BC)·(CD/DA)=1，得AO/OP=3/2
所以AO/AP=3/5
打不出向量符号，下面的边都表示向量
BC=-AB+AC，BP=(2/3)BC=-(2/3)AB+(2/3)AC
AP=AB+BP=(1/3)AB+(2/3)AC
AO=(3/5)AP=(1/5)AB+(2/5)AC
梅涅劳斯定理是常用的定理，可以作平行线或者用正弦定理、面积法等多种方法证明，不会的话搜一下就知道了。
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