求一个空间任意向量和每个坐标轴之间的夹角的和的最大值.注意是夹角和的最大值.坐等!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 03:43:27
求一个空间任意向量和每个坐标轴之间的夹角的和的最大值.注意是夹角和的最大值.坐等!
求一个空间任意向量和每个坐标轴之间的夹角的和的最大值.注意是夹角和的最大值.坐等!
求一个空间任意向量和每个坐标轴之间的夹角的和的最大值.注意是夹角和的最大值.坐等!
可在极坐标系设P点(1,θ,φ)
由于8个卦限处于等价位置,所以可设θ,φ均∈[0,π/2]
那么cos∠(OP,x)=sinθcosφ
cos∠(OP,y)=cosθcosφ
∠(OP,z)=(π/2)-φ
所以三个角的和∑=arccos(sinθcosφ)+arccos(cosθcosφ)+(π/2)-φ
∑'(θ)=[sinθcosφ/√(1-cos²θcos²φ)]-[cosθcosφ/√(1-sin²θcos²φ)]=0
化简可得sin²φ(sin²θ-cos²θ)=0
所以φ=0或θ=π/2
∑'(φ)=[sinθsinφ/√(1-sin²θcos²φ)]+[cosθsinφ/√(1-cos²θcos²φ)]-1=0
若φ=0,那么sinφ=0,则∑'(φ)中前两项为0,得到-1=0矛盾
所以φ=0不成立,即只能是θ=π/2
将θ=π/2代入∑'(φ)=0中
很容易解的sin²φ=1/3,即φ=arcsin√3/3
则∠(OP,z)=(π/2)-φ,cos∠(OP,z)=sinφ=√3/3,∠(OP,z)=arccos√3/3
cos∠(OP,x)=sinθcosφ=√2/2×√6/3=√3/3,∠(OP,x)=arccos√3/3
cos∠(OP,y)=cosθcosφ=√2/2×√6/3=√3/3,∠(OP,y)=arccos√3/3
∑=3arccos√3/3即为最小值
至于最大值,太简单了,让OP向量和x、y、z轴任意一个重合
这样三个角的和为π/2+π/2+0=π