第九届华杯赛小学组决赛试题的答案

第九届华杯赛小学组决赛试题的答案
第九届华杯赛小学组决赛试题的答案

第九届华杯赛小学组决赛试题的答案
一、填空（每题10分,如果一题中有两个填空,则每个5分）
题目
1
2
3
4
5
6
答案
1989．5
9
728
18．84
2．4;2．1
1680
二、解答下列各题,写出简要过程（每题10分）：
李家和王家各养了300头和221头牛．
算术解法：
①李家养牛数的67%是母牛,母牛数应当是整数,67是质数,所以,李家养牛数应当是100的倍数,可能是500、400、300、200或100头,王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头．
②王家的牛群中有是母牛,21、121、221、321和421中仅有221能为13整除,所以,王家养牛数是221头,李家养牛数是300头．
代数解法：
①李家的牛群中有67%是母牛,67是质数,可以设李家养牛头数为100x,王家的牛群中仅有是母牛,13是质数,可以设王家养牛数是13y,列出方程
100x+13y=521．…………………………………（*）
②x和y是整数,分别取x=1,2,3,4,5．可以得到x=3,y=13．或者解同余方程（*）．
（*）式两边除13,
-4x=1,Mod（13）．…………………………（**）
x=3是（**）式的解,得到y=13．
M是3．
,
①把最简分数写成循环小数：,
,
②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27,2004被27除的余数是6,仅3/7符合要求．
小丽最多能买14支圆珠笔,小丽最少能买9支圆珠笔．
方法一：
①买圆珠笔总费用是奇数,所以,买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
②高价格的笔买的越少,买圆珠笔的总数量就越多,若3元和4元的圆珠笔只各买1支,则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔,最多能买12+2=14(支)
③类似,低价格笔买的越少,买圆珠笔总的数量就越少,如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支,余下的钱有26元,能买6支单价4元的笔,尚余2元,可以再买1支2元的圆珠笔．所以,小丽最少能买9支圆珠笔．
方法二：
①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支,则：2x+3y+4z=31,……………………(*)
②分析等式（*）的奇偶性,y必须是奇数．因为x,y,z≥1,3y=31-2x-4z≤25,y≤7．列下表：
y=1
x 12 10 8 6 4 2
z 1 2 3 4 5 6
y=3
x 1 3 5 7 9
z 5 4 3 2 1
y=5
x 2 4 6
z 3 2 1
y=7
x 1 3
z 2 1
从上表,小丽最多能买14支圆珠笔,小丽最少能买9支圆珠笔．
方法三：
①因为x,y,z≥1,所以从(*)式,2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28,得到x+y+z≤14．
②取x=12,y=1,z=1满足(*)式,且x+y+z=14．小丽最多能买14支圆珠笔．
③类似,4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34,≥．
取x=2,y=1,z=6满足(*)式,并且,x+y+z=9．小丽最少可以买9支圆珠笔．
10．不同类型的涂法有3种,如下图A．
说明：
①所涂5个阴影方格分布在3行中,只有一行涂有3个阴影方格．同样,仅有一列涂有3个阴影方格．
②所以,仅有一个方格,它所在的行和列均有3个阴影方格,有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置,就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
11．60
说明：
①任何三个连续正整数,必有一个能为3整除．所以,任何“美妙数”必有因子3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数,它又是完全平方数,必定能为4整除；若中间的数是奇数,则第一和第三个数是偶数,所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0,若其个位是5和0,则中间的数必能被5整除,若其个位是1和6,则第一个数必能被5整除,若其个位是4和9,则第三个数必能被5整除．所以,任何“美妙数”必有因子5．
④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5,也就有因子60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”,美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,只能是60．
12．多面体的表面积是358．
①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y,它们只能取正整数．长方体的体积是455,则有x×y×z=455,分解455=5×7×13,即：x×y×z=5×7×13(1)
②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个,若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个,则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个,而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个,应当有下面关系式：
4×(x-1+y-1+z-2)=84,x+y+z=25．(2)
分析(1)和(2),既然x,y,z只取正整数,验证x=13,z=7,y=5 是唯一解．
③计算表面积：
方法一：如右图B,拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面,总面积是：2×(11×5+11×3+5×3)=206．
第二部分是24个宽都是1的长条,总面积是：8×(11+3+5)=152．
方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)．所以,2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358．