已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 07:32:00
已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程
已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程
已知抛物线y=-x^2/a+2x,过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的 面积求l的方程
因为过原点,设直线方程方程为y=kx
由y=-x²/a + 2x= -(1/a)x(x-2a) =-(1/a)(x-a)²+a可知：
抛物线与x轴交于（0,0）、（2a,0）两点,极值为a,关于x=a对称
（1）a>0时,抛物线开口向下,在y轴右侧：
抛物线与x轴围成的面积S=三分之二的底乘以高,用定积分算为：
S=∫ 0->2a（-x²/a + 2x）dx=（-x³/3a+x²)|0->2a=4a²/3 （0->2a标注定积分上下限）
抛物线y=-x²/a + 2x与y=kx的交点除原点外为（a(2-k),ak(2-k)）
抛物线与y=kx围成的面积：∫ 0->a(2-k)（-x²/a + 2x-kx）dx
=[-x³/3a+x²(2-k)/2]|0->a(2-k)=a²(2-k)³/6=S/2=2a²/3,解得k=2-³√4 (³√4表示：三次根号4)
即 y=（2-³√4）x
（2）a
解（1）由f（x）=0得x=0或x=6，
所以S=-
∫60(x2-6x)dx=
13x3-3x2|60=36．
（II）设直线l：y=kx，由y=kxy=x2-6x
得x2-（k+6）x=0，所以x=0或x=6+k．
因为直线l平分抛物线f（x）=x2-6x与x轴所围封闭区域的面积，
所以∫k+60[kx-(x2-6x)]dx...
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解（1）由f（x）=0得x=0或x=6，
所以S=-
∫60(x2-6x)dx=
13x3-3x2|60=36．
（II）设直线l：y=kx，由y=kxy=x2-6x
得x2-（k+6）x=0，所以x=0或x=6+k．
因为直线l平分抛物线f（x）=x2-6x与x轴所围封闭区域的面积，
所以∫k+60[kx-(x2-6x)]dx
=∫k+60[-x2+(k+6)x]dx=-
13x3+
k+62x2|k+60
=-
13(k+6)3+
12(k+6)3=18，
解得k=3
34-6，
所以直线l的方程为y=(3
34-6)x．
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