已知抛物线x^2=4y,过点A(0,1)任意做一条直线L交抛物线C于M,N两点,求:过M,N分别作抛物线的切线L1,L2,试探求L1与L2的交点的纵坐标是否为定值,并证明.快啊,在线等~
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 22:06:05
已知抛物线x^2=4y,过点A(0,1)任意做一条直线L交抛物线C于M,N两点,求:过M,N分别作抛物线的切线L1,L2,试探求L1与L2的交点的纵坐标是否为定值,并证明.快啊,在线等~
已知抛物线x^2=4y,过点A(0,1)任意做一条直线L交抛物线C于M,N两点,
求:过M,N分别作抛物线的切线L1,L2,试探求L1与L2的交点的纵坐标是否为定值,并证明.
快啊,在线等~
已知抛物线x^2=4y,过点A(0,1)任意做一条直线L交抛物线C于M,N两点,求:过M,N分别作抛物线的切线L1,L2,试探求L1与L2的交点的纵坐标是否为定值,并证明.快啊,在线等~
x^2=4y,则y=x^2/4.
设A(x1,x1^2/4)、B(x2,x2^2/4)、L的方程为y=kx+1.
联立抛物线与直线L方程得:x^2-4kx-4=0,x1+x2=4k、x1x2=-4.
y'=x/2,L1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2,即y=x1x/2-x1^2/4.
同理,L2方程为y=x1x/2-x2^2/4.
联立L1、L2方程:x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4,(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4,即x=(x1+x2)/2.
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1,定值.
-1
是定值
是定值,楼主先证明抛物线上点(x1,x1^2/4)处的切线的斜率为x1/2
设MN方程为y=kx+1,带入抛物线方程,M、N点横坐标X1、X2
求出X1*X2值为-4
两切线方程为:y=x1/2(x-x1)+x1^2/4 x2的同理
消去x可得y=x1x2/4=-1
假设直线L的方程为y=kx+1
代入抛物线方程有x^2-4kx-4=0
求得x1=2k+2√(k^2+1),x2=2k-2√(k^2+1)
则y1=2k^2+1+2k√(k^2+1),y2=2k^2+1-2k√(k^2+1)
那么l1为x*[2k+2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]即x=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]/[...
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假设直线L的方程为y=kx+1
代入抛物线方程有x^2-4kx-4=0
求得x1=2k+2√(k^2+1),x2=2k-2√(k^2+1)
则y1=2k^2+1+2k√(k^2+1),y2=2k^2+1-2k√(k^2+1)
那么l1为x*[2k+2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]即x=2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]/[2k+2√(k^2+1)]
l2为x*[2k-2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]即x=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]/[2k-2√(k^2+1)]
依题意有2(y+2k^2+1+2k√(k^2+1)]/[2k+2√(k^2+1)]=2(y+2k^2+1-2k√(k^2+1)]/[2k-2√(k^2+1)]
y√(k^2+1)=-(2k^2+1)*√(k^2+1)+2k^2√(k^2+1)
y=-1
即L1与L2的交点的纵坐标为定值-1
收起
是定值且y=-1
设:m(a,b) n(c,d) 直线L的斜率为k
因为m(a,b) n(c,d)在抛物线上,所以:aa=4b, cc=4d两式相减知a+c=4k
因为抛物线x^2=4y,所以L1的斜率为a/2, L2的斜率为c/2
则L1的方程为y-ab=a/2(x-a), L2的方程为:y-d=c/2(x-c)
联立两个方程可解得交点横...
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是定值且y=-1
设:m(a,b) n(c,d) 直线L的斜率为k
因为m(a,b) n(c,d)在抛物线上,所以:aa=4b, cc=4d两式相减知a+c=4k
因为抛物线x^2=4y,所以L1的斜率为a/2, L2的斜率为c/2
则L1的方程为y-ab=a/2(x-a), L2的方程为:y-d=c/2(x-c)
联立两个方程可解得交点横坐标为2k,将x=2k代入L1或 L2可得交点的纵坐标为y=ck-cc/2+d
因为A(0,1)与 n(c,d) 在同一直线上,所以k=d-1/c
两式联立可得y=2d-1-cc/2因为 cc=4d所以y=2d-1-4d/2=-1
综上:交点纵坐标为定值-1
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