数列｛an}中,a1+1,a2=3,a(n+2)+4a（n+1）-5an=0,求an的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:48:11
数列｛an}中,a1+1,a2=3,a(n+2)+4a（n+1）-5an=0,求an的通项公式
数列｛an}中,a1+1,a2=3,a(n+2)+4a（n+1）-5an=0,求an的通项公式
数列｛an}中,a1+1,a2=3,a(n+2)+4a（n+1）-5an=0,求an的通项公式
a(n+2)=-4a(n+1)+5an
===> a(n+2)-a(n+1)=-5[a(n+1)-an]
===> [a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=-5
===> 数列{a(n+1)-an}是公比为-5的等比数列.
a2-a1=2 ===> a(n+1)-an=2(-5)^(n-1).
a2-a1=2
a3-a2=2(-5)
……
an-a(n-1)=2(-5)^(n-2)
相加：an-a1=2[1-(-5)^(n-1)]/(1+5)=[1-(-5)^(n-1)]/3
===> an=[4-(-5)^(n-1)]/3.
首先对第三个式子进行处理，考虑到5-1=4，a(n+2)-a(n+1)=-5a(n+1)+5an，如果令bn=a(n+1)-an，则可以看到bn是以a2-a1=2为首项，-5为公差的等比数列，依据等比数列的性质可以得到bn的通项为bn=2*(-5)^(n-1)。写n-1个式子，b(n-1)=an-a(n-1), b(n-2)=a(n-1)-a(n-2), ……b1=a2-a1.把这n-1个式子左边...
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首先对第三个式子进行处理，考虑到5-1=4，a(n+2)-a(n+1)=-5a(n+1)+5an，如果令bn=a(n+1)-an，则可以看到bn是以a2-a1=2为首项，-5为公差的等比数列，依据等比数列的性质可以得到bn的通项为bn=2*(-5)^(n-1)。写n-1个式子，b(n-1)=an-a(n-1), b(n-2)=a(n-1)-a(n-2), ……b1=a2-a1.把这n-1个式子左边归左边，右边归右边叠加，可以得到b(n-1)+b(n-2)+……+b1=an-a1=an-1,
左边利用等比数列求和公式可以得到，和为[ 1-(-5)^(n-1) ] /3,所以an=[ 1-(-5)^(n-1) ] /3+1
= [4-(-5)^(n-1) ] /3
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